6.2.8 Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man einerseits die im folgenden aufgelisteten Gesetze, und andererseits die weiter unten beschriebenen weiteren logischen Identitäten.

Dualitätsgesetze

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }0\equiv 1\\ \mathrm{\neg }1\equiv 0\end{array}$

Doppelnegationsgesetz

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)\equiv \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\equiv A\end{array}$

Neutralitätsgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge 1\equiv A\\ A\vee 0\equiv A\end{array}$

Extremalgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge 0\equiv 0\\ A\vee 1\equiv 1\end{array}$

Kommutativgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge B\equiv B\wedge A\\ A\vee B\equiv B\vee A\end{array}$

Assoziativgesetze

$\begin{array}{r}(A\wedge B)\wedge C\equiv A\wedge (B\wedge C)\\ (A\vee B)\vee C\equiv A\vee (B\vee C)\end{array}$

Idempotenzgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge A\equiv A\\ A\vee A\equiv A\end{array}$

Distributivgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)\\ A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)\end{array}$

De Morgansche Gesetze

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }(A\wedge B)\equiv \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B\\ \mathrm{\neg }(A\vee B)\equiv \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B\end{array}$

Komplementärgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge \mathrm{\neg }A\equiv 0\\ A\vee \mathrm{\neg }A\equiv 1\end{array}$

Absorptionsgesetze

$\begin{array}{r}A\vee (A\wedge B)\equiv A\\ A\wedge (A\vee B)\equiv A\end{array}$

Weitere logische Identitäten

$\begin{array}{rl}(A\to B)& \equiv (\mathrm{\neg }A\vee B)\\ (A\to B)& \equiv (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)\\ (A\leftrightarrow B)& \equiv (A\to B)\wedge (B\to A)\\ \\ (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& \equiv (B\vee A)\\ (\mathrm{\neg }A\vee B)\wedge A& \equiv (B\wedge A)\\ \\ (A\wedge B)\vee (A\wedge \mathrm{\neg }B)& \equiv A\\ (A\vee B)\wedge (A\vee \mathrm{\neg }B)& \equiv A\end{array}$