6.2.11.1 Aufgaben: Textaufgabe mittels aussagenlogischer Formeln vereinfachen

=Aufgaben: Textaufgabe mittels aussagenlogischer Formeln vereinfachen=

<br />
=== Aufgabe 1 ===
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<loop_area type="task">
<loop_task title="Textaufgabe lösen mit Hilfe der Aussagenlogik" id="5fa958ee6c58e">
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Frau Müller sagt zu ihrem Mann: "Den ganzen Sonntag hockst du auf dem Sofa, trinkst Bier und stopfst dir Kartoffelchips in den Schlund! Du solltest mal joggen!"
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<p>
Ihr Gatte erwidert: "Ich verspreche dir für nächsten Sonntag Folgendes:
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<br />
<p>
* Wenn ich jogge, werde ich sogar auf Bier oder auf Chips verzichten.
</p>
<p>
* Wenn ich keine Chips esse, trinke ich kein Bier oder ich jogge nicht.
</p>
<p>
* Wenn ich aber jogge, brauche ich unbedingt hinterher ein Bier!
</p>
<p>
* Allerdings: Auch falls ich nicht jogge, werde ich auf jeden Fall Bier oder Chips zu mir nehmen."
</p>
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Falls Herr Müller seine Versprechen einhält, wie könnten seine Aktivitäten am nächsten Sonntag aussehen?
</p>
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<spoiler text="Lösung">
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'''Schritt 1: Abkürzungen definieren'''
</p>
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:J: Herr Müller joggt.<br />
:B: Herr Müller trinkt Bier.<br />
:C: Herr Müller isst Chips.<br />
</p>
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'''Schritt 2: Alle gegebenen Sätze in aussagenlogische Formeln überführen'''
</p>
<br />
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Wenn ich jogge, werde ich sogar auf Bier oder auf Chips verzichten.<br />
:<math>(J \rightarrow (\neg B \lor \neg C))</math>
</p>
<br />
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Wenn ich keine Chips esse, trinke ich kein Bier oder ich jogge nicht.<br />
:<math>(\neg C \rightarrow (\neg B \lor \neg J))</math>
</p>
<br />
<p>
Wenn ich aber jogge, brauche ich unbedingt hinterher ein Bier!<br />
:<math>(J \rightarrow B)</math>
</p>
<br />
<p>
Auch falls ich nicht jogge, werde ich auf jeden Fall Bier oder Chips zu mir nehmen.<br />
:<math>(\neg J \rightarrow (B \lor C))</math>
</p>
<br />
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'''Schritt 3: Alle Formeln in eine UND-verknüpfte Gesamtformel integrieren'''
</p>
<p>
<math>
(J \rightarrow (\neg B \lor \neg C)) \; \land \; (\neg C \rightarrow (\neg B \lor \neg J)) \; \land \; (J \rightarrow B) \; \land \; (\neg J \rightarrow (B \lor C))
</math>
</p>
<br />
<p>
'''Schritt 4: Gesamtformel auf möglichst einfache Gestalt bringen'''
</p>
<p>
<math>
\equiv \quad . . .
</math>
</p>
<p>
<math>
\equiv \quad \neg J \land (B \lor C)
</math>
</p>
<br />
<p>
'''Schritt 5: Antwortsatz notieren'''
</p>
<p>
Herr Müller wird auf keinen Fall joggen. Er wird stattdessen Bier oder Chips (oder beides) zu sich nehmen.
</p>
</spoiler>
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</loop_task>
</loop_area>
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=== Aufgabe 2 ===
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<loop_area type="task">
<loop_task title="Textaufgabe lösen mit Hilfe der Aussagenlogik" id="5fa958ee6c59a">
<p>Wie bei jeder Feier spricht Herr Fröhlich kräftig dem Alkohol zu. Seine Frau sagt nach der Rückkehr nach Hause vorwurfsvoll: "Immer trinkst du so viel durcheinander, und am nächsten Morgen ist dir elend!"
</p>
<p>
Darauf antwortet ihr Mann: "Ich verspreche dir für die nächste Feier Folgendes:
</p>
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<p>
* Bier werde ich nur trinken, wenn ich auch ein Gläschen Schnaps oder Wein zu mir nehme.
</p>
<p>
* Wenn ich aber Wein trinke, brauche ich auch einen Schnaps oder ein Bier dazu.
</p>
<p>
* Wenn ich keinen Schnaps trinke, werde ich von Wein und Bier höchstens eine Sorte zu mir nehmen.
</p>
<p>
* Aber ich werde nicht auf alle drei Sorten Getränk verzichten."
</p>
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<p>
Falls Herr Fröhlich sich an seine Aussagen hält, wie könnte sein Alkoholkonsum bei der nächsten Feier aussehen?
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<spoiler text="Lösung">
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'''Schritt 1: Abkürzungen definieren'''
</p>
<p>
:S: Herr Fröhlich trinkt Schnaps.<br />
:B: Herr Fröhlich trinkt Bier.<br />
:W: Herr Fröhlich trinkt Wein.<br />
</p>
<br />
<p>
'''Schritt 2: Alle gegebenen Sätze in aussagenlogische Formeln überführen'''
</p>
<br />
<p>
Bier werde ich '''nur''' trinken, wenn ich auch ein Gläschen Schnaps oder Wein zu mir nehme.<br />
:<sub>(Wichtig! Beachte das Wort "'''nur'''" in diesem Satz und [[Textaufgabe_mittels_aussagenlogischer_Formeln_vereinfachen#Woran_man_die_Implikation_erkennt|dessen Auswirkungen auf die Implikation]]!)</sub><br /><br />
:<math>(B \rightarrow (S \lor W))</math>
</p>

<br />
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Wenn ich aber Wein trinke, brauche ich auch einen Schnaps oder ein Bier dazu.<br />
:<math>(W \rightarrow (S \lor B))</math>
</p>
<br />
<p>
Wenn ich keinen Schnaps trinke, werde ich von Wein und Bier höchstens eine
Sorte zu mir nehmen.<br />
:<math>(\neg S \rightarrow \neg (W \land B))</math>
</p>
<br />
<p>
Aber ich werde nicht auf alle drei Sorten Getränk verzichten.<br />
:<math>(S \lor B \lor W)</math>
</p>
<br />
<p>
'''Schritt 3: Alle Formeln in eine UND-verknüpfte Gesamtformel integrieren'''
</p>
<p>
<math>
(B \rightarrow (S \lor W)) \; \land \; (W \rightarrow (S \lor B)) \; \land \; (\neg S \rightarrow \neg (W \land B)) \; \land \; (S \lor B \lor W)
</math>
</p>
<br />
<p>
'''Schritt 4: Gesamtformel auf möglichst einfache Gestalt bringen'''
</p>
<p>
<math>
\equiv \quad . . .
</math>
</p>
<p>
<math>
\equiv \quad S
</math>
</p>
<br />
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'''Schritt 5: Antwortsatz notieren'''
</p>
<p>
Herr Fröhlich trinkt also auf jeden Fall Schnaps, aber vielleicht noch anderes dazu!
</p>
<p>
(Die einfachste Form &nbsp; <math>S</math> &nbsp; gibt vor, dass er Schnaps trinkt, aber sie macht keine Aussage darüber, wie es mit dem Verzehr von Bier und/oder Wein steht.<br />
Er ''kann'' demnach zusätzlich Bier oder Wein (oder beides) trinken, ''muss aber nicht''.)
</p>
</spoiler>
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</loop_task>
</loop_area>
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