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| Die Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln lässt sich auf zwei Arten zeigen: | | Die Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln lässt sich auf zwei Arten zeigen: |
| # mit Hilfe einer Wahrheitstafel | | # mit Hilfe einer Wahrheitstafel |
| # mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten | | # mit Hilfe von Umformungen anhand der [[Logische Identitäten|logischen Identitäten]] |
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| === Beweisführung anhand einer Wahheitstafel ===
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| <loop_area type="task">
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| Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:<br />
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| :<math>
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| (A \leftrightarrow B) \; \equiv \; (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)
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| </math>
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| </loop_area>
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| <br />
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| Das folgende Video zeigt die Beweisführung:
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| <p>
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| <loop_media type="video" title="Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten" description="http://youtu.be/vcklrdE8sKs" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
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| {{#ev:youtube|vcklrdE8sKs|700}}
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| </loop_media>
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| </p>
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| <br />
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| === Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten ===
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| <loop_area type="task">
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| Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:<br />
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| :<math>
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| ( \neg A \land B ) \lor A \; \equiv \; ( B \lor A )
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| </math>
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| </loop_area>
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| <br />
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| Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:
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| :<math>
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| \begin{alignat}{2}
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| & ( \neg A \land B ) \lor A && \text{jetzt Distributivgesetz anwenden} \\
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| \equiv \quad & ( \neg A \lor A) \land (B \vee A ) \qquad && \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden} \\
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| \equiv \quad & 1 \land (B \lor A ) && \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden} \\
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| \equiv \quad & ( B \lor A ) && \text{fertig}
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| \end{alignat}
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| </math>
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| <br />
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| Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung:
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| <math>
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| ( \neg A \land B ) \lor A
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| </math><br />
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| Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.<br />
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| Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung:
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| <math>
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| ( B \lor A )
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| </math><br />
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| Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)
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| <loop_area type="task"> | | <div class="autoit_toc"> |
| <p>
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| Du sollst hier beide Wege gehen:
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| </p>
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| <p> | | <p> |
| * Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:
| | <loop_area type="arrangement"><loop_toc> </loop_toc></loop_area> |
| * Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:
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| </p> | | </p> |
| :<math>
| | </div> |
| ( \neg A \lor B ) \land A \; \equiv \; ( B \land A )
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| </math>
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| </loop_area> | |