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| =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= | | =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= |
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| <loop_area type="task"> | | <p> |
| Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
| | Aussagenlogische Formeln können mit Hilfe einer Wahheitstafel oder unter Anwendung von [[Logische Identitäten|logischen Identitäten]] vereinfacht werden. Beide Möglichkeiten werden in einem eigenen Abschnitt behandelt. |
| :<math>
| | </p> |
| ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z
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| </math>
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| </loop_area> | |
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| <br /> | | <div class="autoit_toc"> |
| === Ein möglicher Lösungsweg === | | <p> |
| Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br />
| | <loop_area type="arrangement"><loop_toc> </loop_toc></loop_area> |
| <br /> | | </p> |
| | | </div> |
| :<math>
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| \begin{alignat}{2}
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| & ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad& \neg ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( X \rightarrow Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( \neg X \lor Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ \neg( \neg X \lor Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( \neg \neg X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ X \land \neg Y ) \land \neg ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( \neg \neg Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Klammern auflösen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ Y \lor \neg X ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land (\ Y \lor \neg X ) \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Absorptionsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Distributivgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land ( \neg Z \lor Z ) & \qquad [\text{Komplementärgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land 1 & \qquad [\text{Neutralitätsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & Y \lor Z & \qquad [\text{Fertig}] \\[.3cm]
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| \end{alignat}
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| </math> | |