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| =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= | | =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= |
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| <loop_area type="task"> | | <p> |
| Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
| | Aussagenlogische Formeln können mit Hilfe einer Wahheitstafel oder unter Anwendung von [[Logische Identitäten|logischen Identitäten]] vereinfacht werden. Beide Möglichkeiten werden in einem eigenen Abschnitt behandelt. |
| :<math>
| | </p> |
| ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z
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| </math>
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| </loop_area> | |
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| <br /> | | <div class="autoit_toc"> |
| === Ein möglicher Lösungsweg ===
| | <p> |
| Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br />
| | <loop_area type="arrangement"><loop_toc> </loop_toc></loop_area> |
| <br /> | | </p> |
| | | </div> |
| :<math>
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| \begin{alignat}{2}
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| & ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad& \neg ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( X \rightarrow Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( \neg X \lor Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ \neg( \neg X \lor Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( \neg \neg X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ X \land \neg Y ) \land \neg ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( \neg \neg Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Klammern auflösen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ Y \lor \neg X ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land (\ Y \lor \neg X ) \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Absorptionsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Distributivgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land ( \neg Z \lor Z ) & \qquad [\text{Komplementärgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land 1 & \qquad [\text{Neutralitätsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & Y \lor Z & \qquad [\text{Fertig}] \\[.3cm]
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| \end{alignat}
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| </math> | |
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| <loop_area type=notice> | |
| Der hier gezeigt Lösungsweg ist ein sehr ausführlich dargestellter Weg. Wer das Prinzip verstanden und entsprechende Erfahrungen mit der Anwendung logischer Identitäten aufgebaut hat, wird in der Lage sein, mehrere Schritte auf einmal durchzuführen.<br />
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| Aber Vorsicht! Mehrere Schritte auf einmal durchzuführen bedeutet immer ein erhöhtes Riskio in Bezug auf Fehler. Gerade zu Beginn sollte man deshalb lieber ausführlicher arbeiten. Je mehr Erfahrung man hat, desto mehr Schritte können auch (fehlerfrei) auf einmal erfolgen.
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| </loop_area> | |