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| =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= | | =Aussagenlogische Formeln vereinfachen= |
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| <loop_area type="task">
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| Nutze [[logische Identitäten]], um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
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| :<math>
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| ( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow C
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| </math>
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| </loop_area>
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| <p>
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| Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus den [[logische Identitäten]].
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| </p>
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| <p>
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| Um dieses Problem zu verdeutlichen und gleichzeitig dass Verständnis dafür zu erhöhen, nehmen wir hier eine Umbenennung der aussagenlogischen Variablen aus der Aufgabenstellung vor:
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| Sei <math>\; A \equiv X \;</math>, sei <math>\; B \equiv Y \;</math> und sei <math>\; C \equiv Z\;</math>.
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| </p>
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| <p> | | <p> |
| Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung:
| | Aussagenlogische Formeln können mit Hilfe einer Wahheitstafel oder unter Anwendung von [[Logische Identitäten|logischen Identitäten]] vereinfacht werden. Beide Möglichkeiten werden in einem eigenen Abschnitt behandelt. |
| </p> | | </p> |
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| <br /> | | <div class="autoit_toc"> |
| <loop_area type="task">
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| Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
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| :<math>
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| ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z
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| </math>
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| </loop_area>
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| === Ein möglicher Lösungsweg ===
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| Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg:
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| <p> | | <p> |
| <loop_media type="video" title="Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen" description="http://youtu.be/wqa7qBZc180" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true> | | <loop_area type="arrangement"><loop_toc> </loop_toc></loop_area> |
| {{#ev:youtube|wqa7qBZc180|700}}
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| </loop_media> | |
| </p> | | </p> |
| | | </div> |
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| Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br />
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| :<math>
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| \begin{alignat}{2}
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| & ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad& \neg ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( X \rightarrow Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg ( \neg ( \neg X \lor Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ \neg( \neg X \lor Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( \neg \neg X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ ( X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & \neg(\ X \land \neg Y ) \land \neg ( \neg Y \lor Z ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( \neg \neg Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Doppelnegationsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Klammern auflösen}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ (\ Y \lor \neg X ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land (\ Y \lor \neg X ) \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Absorptionsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Distributivgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land ( \neg Z \lor Z ) & \qquad [\text{Komplementärgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land 1 & \qquad [\text{Neutralitätsgesetz}] \\[.3cm]
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| \equiv \quad & Y \lor Z & \qquad [\text{Fertig}] \\[.3cm]
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| \end{alignat}
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| </math>
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| <br />
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| <loop_area type=notice>
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| <p>
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| Der hier gezeigt Lösungsweg ist ein sehr ausführlich dargestellter Weg. Wer das Prinzip verstanden und entsprechende Erfahrungen mit der Anwendung logischer Identitäten aufgebaut hat, wird in der Lage sein, mehrere Schritte auf einmal durchzuführen.
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| </p>
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| <p>
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| '''Aber Vorsicht!'''<br />
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| Mehrere Schritte auf einmal durchzuführen bedeutet immer ein erhöhtes Riskio in Bezug auf Fehler. Gerade zu Beginn sollte man deshalb lieber ausführlicher arbeiten. Je mehr Erfahrung man hat, desto mehr Schritte können auch (fehlerfrei) auf einmal erfolgen.
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| </p>
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| </loop_area>
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| === Die Sache mit der Bindungsstärke ===
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| In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen.
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| Hierzu wird es in Kürze weitere Informationen an dieser Stelle geben.
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| --> Under Construction, 04.10.2014
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