6.2.10.2 Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten

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=Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten=
=Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten=


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Eine Aufgabe, eine leichte Abwandlung und deren Lösung:
</p>
<p>
<loop_area type="task">
<loop_area type="task">
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Nutze [[logische Identitäten]], um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
Nutze [[logische Identitäten]], um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
:<math>
:<math>
( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow C
( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow C
</math>
</math>
</p>
</loop_area>
</loop_area>
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Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein &nbsp; <math>A</math>, &nbsp; <math>B</math> &nbsp; oder &nbsp; <math>C</math> &nbsp; aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem &nbsp; <math>A</math>, &nbsp; <math>B</math> &nbsp; oder &nbsp; <math>C</math> &nbsp; aus den [[logische Identitäten]].
Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein &nbsp; <math>A</math>, &nbsp; <math>B</math> &nbsp; oder &nbsp; <math>C</math> &nbsp; aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem &nbsp; <math>A</math>, &nbsp; <math>B</math> &nbsp; oder &nbsp; <math>C</math> &nbsp; aus den [[logische Identitäten]].
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Sei &nbsp; <math>\; A \equiv X \;</math>, &nbsp; sei &nbsp; <math>\; B \equiv Y \;</math> &nbsp; und sei &nbsp; <math>\; C \equiv Z\;</math>.
Sei &nbsp; <math>\; A \equiv X \;</math>, &nbsp; sei &nbsp; <math>\; B \equiv Y \;</math> &nbsp; und sei &nbsp; <math>\; C \equiv Z\;</math>.
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Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung:
Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung:
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<loop_area type="task">
<loop_area type="task">
<p>
Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
:<math>
:<math>
( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z
( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z
</math>
</math>
</p>
</loop_area>
</loop_area>
</p>


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<br />
=== Ein möglicher Lösungsweg ===
=== Ein möglicher Lösungsweg ===
<p>
Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg:
Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg:
</p>
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<p>
<loop_media type="video" title="Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen" description="http://youtu.be/wqa7qBZc180" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
<loop_media type="video" title="Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen" description="http://youtu.be/wqa7qBZc180" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true id="5fa95929b0242">
{{#ev:youtube|wqa7qBZc180|700}}
{{#ev:youtube|wqa7qBZc180|700}}
</loop_media>
</loop_media>
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<br />
<p>
Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br />
Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br />
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:<math>
:<math>
\begin{alignat}{2}
\begin{alignat}{2}
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\end{alignat}
\end{alignat}
</math>
</math>
</p>


<br />
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<loop_area type=notice>
<loop_area type=notice>
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</p>
</loop_area>
</loop_area>
<br />
=== Die Sache mit der Bindungsstärke ===
In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen.
Die Bindungsstärke der Junktoren ist vergleichbar mit der Bedeutung des allgemein bekannten mathematischen Grundsatzes: ''Punkt- vor Strichrechnung''.
<loop_area type="important">
'''Punkt- vor Strichrechnung'''
<p>
Du erinnerst dich in Bezug auf Addition und Multiplikation an:
</p>
<p>
<math>
1 + 2 * 3 + 4 \quad = \quad 1 + (2 * 3) + 4 \quad = \quad 1 + 6 + 4 \quad = \quad 11
</math>
</p>
<p>
Man kann hier sagen: Die Bindungsstärke der Multiplikation (*) ist größer als die Bindungsstärke der Addition (+). Aus diesem Grund muss die Multiplikation vor den beiden Additionen ausgeführt werden.<br />
Die Klammern bei &nbsp; <math>(2 * 3)</math> &nbsp; '''können''' gesetzt werden, sie '''müssen aber nicht''' gesetzt werden.
</p>
<p>
Falls die Addition vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen entsprechend andere Klammern gesetzt werden:
</p>
</p>
<p>
<math>
(1 + 2) * (3 + 4) \quad = \quad 3 * 7 \quad = \quad 21
</math>
</p>
<p>
Allerdings ist das Ergebnis dann auch ein Anderes.<br />
Die Klammern bei &nbsp; <math>(1 + 2)</math> &nbsp; sowie bei &nbsp; <math>(3 + 4)</math> &nbsp; '''müssen''' in diesem Fall gesetzt sein, sie '''dürfen nicht entfallen'''.
</p>
</loop_area>


<br />
<br />
 
=== Achte auf die unterschiedliche Bindungsstärke der Junktoren! ===
<loop_area type="question">
<p>
<p>
Wie lautet das Ergebnis dieser Rechnung:
<loop_area type="important">
</p>
<p>
<p>
<math>
In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen. Dieses wichtige Thema wird in einem eigenen Abschnitt behandelt:<br />
(1 + 2) * 3 + 4 \quad = \quad ?
[[Die Sache mit der Bindungsstärke]]
</math>
</p>
</p>
</loop_area>
</loop_area>
<br />
==== Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ====
<p>
Die Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ist nun wie folgt definiert:
</p>
<p>
<math>\neg</math> bindet am stärksten, dahinter folgen <math>\land, \lor, \rightarrow</math> und <math>\leftrightarrow</math>.
</p>
<p>
Analog zu ''Punkt- vor Strichrechnung'' lässt sich hier also festhalten:
</p>
<p>
* Die Negation (<math>\neg</math>) bindet stärker als das logische UND (<math>\land</math>).
* Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
* Das logische ODER (<math>\lor</math>) bindet stärker als die Implikation (<math>\rightarrow</math>).
* Die Implikation (<math>\rightarrow</math>) bindet stärker als die Äquivalenz (<math>\leftrightarrow</math>).
</p>
</p>
<br />
<br />
<p>
Hier noch einmal der Auszug aus dem obigen Lösungsweg, in dem auf die Beachtung der Bindungsstärke hingewiesen wird:
</p>
<p>
<math>
\begin{alignat}{2}
& (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm]
\equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \\[.3cm]
\end{alignat}
</math>
</p>
<br />
<loop_area type="notice">
<p>
In der unteren Zeile ist ein Klammerpaar hinzugekommen. Dieses Klammerpaar '''kann''' gesetzt werden, es '''muss aber nicht''' gesetzt werden.
</p>
<p>
Dieses folgt direkt aus dem Grundsatz:<br />
Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
</p>
</loop_area>
<p>
Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg ''freiwillig'' gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von &nbsp; &nbsp; <math>\neg Z \lor Z</math> &nbsp; &nbsp; zu &nbsp; &nbsp; <math>1</math> &nbsp; &nbsp; an dieser Stelle '''nicht erlaubt''' ist.
</p>
<br />
==== Testfragen ====
<loop_area type="question">
<p>
Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?<br />
Oder anders gefragt:<br />
Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein <math>\equiv</math> oder ein <math>\not\equiv</math> ersetzt werden?
</p>
<br />
<p>
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad \neg (A \lor B)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad (\neg A) \lor B</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad \neg (A \land B)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad (\neg A) \land B</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B) \land C</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad A \lor (B \land C)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B \land C)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad (A \land B) \lor (C \land D)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad A \land (B \lor C) \land D</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \land C \land D \quad ??? \quad A \land (B \land C) \land D</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \lor B) \rightarrow C</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad A \lor (B \rightarrow C)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad A \land (B \rightarrow C)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \land B) \rightarrow C</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow C</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad ((A \rightarrow B) \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow B \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
</p>
<p>
Notiere zu jeder Zeile deine Antwort. Vergleiche dann alle Antworten mit den Antworten der anderen Studierenden in deiner Lerngruppe!
</p>
</loop_area>

Aktuelle Version vom 9. November 2020, 16:58 Uhr

Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten

Eine Aufgabe, eine leichte Abwandlung und deren Lösung:

Aufgabe

Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:


Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein   ,     oder     aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem   ,     oder     aus den logische Identitäten.

Um dieses Problem zu verdeutlichen und gleichzeitig dass Verständnis dafür zu erhöhen, nehmen wir hier eine Umbenennung der aussagenlogischen Variablen aus der Aufgabenstellung vor: Sei   ,   sei     und sei   .


Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung:


Aufgabe

Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:


Ein möglicher Lösungsweg

Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg:

YouTube

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 Med. 35: Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen
http://youtu.be/wqa7qBZc180
CC-BY


Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.



Hinweis

Der hier gezeigt Lösungsweg ist ein sehr ausführlich dargestellter Weg. Wer das Prinzip verstanden und entsprechende Erfahrungen mit der Anwendung logischer Identitäten aufgebaut hat, wird in der Lage sein, mehrere Schritte auf einmal durchzuführen.

Aber Vorsicht!
Mehrere Schritte auf einmal durchzuführen bedeutet immer ein erhöhtes Riskio in Bezug auf Fehler. Gerade zu Beginn sollte man deshalb lieber ausführlicher arbeiten. Je mehr Erfahrung man hat, desto mehr Schritte können auch (fehlerfrei) auf einmal erfolgen.


Achte auf die unterschiedliche Bindungsstärke der Junktoren!

Wichtig

In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen. Dieses wichtige Thema wird in einem eigenen Abschnitt behandelt:
Die Sache mit der Bindungsstärke


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