6.2.10.2 Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten
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Nutze [[logische Identitäten]], um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen: | Nutze [[logische Identitäten]], um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen: | ||
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( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow C | ( ( A \rightarrow B ) \rightarrow ( B \rightarrow C ) ) \rightarrow C | ||
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Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus den [[logische Identitäten]]. | Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem <math>A</math>, <math>B</math> oder <math>C</math> aus den [[logische Identitäten]]. | ||
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Sei <math>\; A \equiv X \;</math>, sei <math>\; B \equiv Y \;</math> und sei <math>\; C \equiv Z\;</math>. | Sei <math>\; A \equiv X \;</math>, sei <math>\; B \equiv Y \;</math> und sei <math>\; C \equiv Z\;</math>. | ||
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Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung: | Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung: | ||
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Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen: | Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen: | ||
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( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z | ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z | ||
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=== Ein möglicher Lösungsweg === | === Ein möglicher Lösungsweg === | ||
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Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg: | Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg: | ||
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<loop_media type="video" title="Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen" description="http://youtu.be/wqa7qBZc180" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true> | <loop_media type="video" title="Aussagenlogik: Aussagenlogische Formeln mit Hilfe logischer Identitäten vereinfachen" description="http://youtu.be/wqa7qBZc180" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true id="5fa95929b0242"> | ||
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Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br /> | Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.<br /> | ||
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=== Achte auf die unterschiedliche Bindungsstärke der Junktoren! === | |||
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In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen. Dieses wichtige Thema wird in einem eigenen Abschnitt behandelt:<br /> | In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen. Dieses wichtige Thema wird in einem eigenen Abschnitt behandelt:<br /> | ||
[[Die Sache mit der Bindungsstärke]] | [[Die Sache mit der Bindungsstärke]] | ||
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Aktuelle Version vom 9. November 2020, 16:58 Uhr
Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten
Eine Aufgabe, eine leichte Abwandlung und deren Lösung:
Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
Ein großes Problem bei der Anwendung logischer Identitäten ist oftmals das Verständnis dafür, dass ein , oder aus der Aufgabenstellung nicht identisch ist mit einem , oder aus den logische Identitäten.
Um dieses Problem zu verdeutlichen und gleichzeitig dass Verständnis dafür zu erhöhen, nehmen wir hier eine Umbenennung der aussagenlogischen Variablen aus der Aufgabenstellung vor: Sei , sei und sei .
Damit ergibt sich folgende (leicht veränderte) Aufgabenstellung:
Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:
Ein möglicher Lösungsweg
Das folgende Video erläutert einen möglichen Lösungsweg:
Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z))\rightarrow Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg ((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\neg (X\rightarrow Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\neg (\neg X\lor Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ \neg (\neg X\lor Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ (\neg \neg X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Doppelnegationsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ (X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ X\land \neg Y)\land \neg (\neg Y\lor Z)\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (\neg \neg Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Doppelnegationsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Klammern auflösen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z\lor Z&\qquad [{\text{Bindungsstärke beachten!}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ (\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ (\ Y\lor \neg X)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\land (\ Y\lor \neg X)\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Absorptionsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Distributivgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land (\neg Z\lor Z)&\qquad [{\text{Komplementärgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land 1&\qquad [{\text{Neutralitätsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &Y\lor Z&\qquad [{\text{Fertig}}]\\[.3cm]\end{alignedat}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7682fe36e772d4b047f8af116762b90211ee548)
Der hier gezeigt Lösungsweg ist ein sehr ausführlich dargestellter Weg. Wer das Prinzip verstanden und entsprechende Erfahrungen mit der Anwendung logischer Identitäten aufgebaut hat, wird in der Lage sein, mehrere Schritte auf einmal durchzuführen.
Aber Vorsicht!
Mehrere Schritte auf einmal durchzuführen bedeutet immer ein erhöhtes Riskio in Bezug auf Fehler. Gerade zu Beginn sollte man deshalb lieber ausführlicher arbeiten. Je mehr Erfahrung man hat, desto mehr Schritte können auch (fehlerfrei) auf einmal erfolgen.
Achte auf die unterschiedliche Bindungsstärke der Junktoren!
In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen. Dieses wichtige Thema wird in einem eigenen Abschnitt behandelt:
Die Sache mit der Bindungsstärke