6.2.7 Von der Wahrheitstafel zur KNF

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<loop_area type="notice">
<loop_area type="notice">
<p>
<p>
Ein Term in '''KNF''' ist eine '''Konjunktion von Diskunktionen'''!
Ein Term in '''KNF''' ist eine '''Konjunktion von Disjunktionen'''!
</p>
</p>
</loop_area>
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Das folgende Video zeigt, wie der Term in KNF aus der Wahrheitstafel gebildet wird:
Das folgende Video zeigt, wie der Term in KNF aus der Wahrheitstafel gebildet wird:
</p>
</p>
http://youtu.be/4UU83WSs394
<p>
<loop_media type="video" title="Von der Wahrheitstafel zur KNF" description="http://youtu.be/WRYAmf864tQ" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true id="5fa9593053580">
{{#ev:youtube|WRYAmf864tQ|700}}
</loop_media>
</p>


<br />
<br />
=== Aufgabe 1 ===
<p>
<loop_area type="task">
<loop_task title="Die Notwendigkeit der Klammern" id="5fa9593053594">
<p>
Warum sind in dem folgenden Term die Klammern wichtig?
</p>
<p>
<math>
(\neg A \lor B \lor C) \quad \land \quad (\neg A \lor \neg B \lor C)
</math>
</p>
<p>
Oder anders gefragt:<br />
Was würde sich ändern, wenn man auf die Klammern verzichtet?
</p>
<spoiler text="Hinweis">
<p>
Stichwort: [[Junktoren#Unterschiedliche_Bindungsst.C3.A4rken|Bindungsstärke der Junktoren]]!
</p>
<p>
<p>
<loop_area type="notice">
Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
Siehe in den offiziellen Lernmaterialien:<br />Teil II: Aussagenlogik und Boole'sche Algebra<br />Lernobjekt 6: Anwendungen der Aussagenlogik<br />Kapitel 3.3: Boole'sche Funktionen in Normalform bringen <br />
</p>
<p>
Ohne die Klammern wären beide Terme nicht mehr logisch äquivalent.
</p>
</spoiler>
</loop_task>
</loop_area>
</loop_area>
</p>
</p>
<br />
=== Aufgabe 2 ===
<p>
<loop_area type="task">
<loop_task title="Vervollständige die Tabelle und frag dich warum" id="5fa95930535a3">
<p>
Vervollständige die Ergebnisspalte der Wahrheitstafel:
</p>
<p>
{| class="wikitable"
! &nbsp; &nbsp; <math>A</math> &nbsp; &nbsp;
! &nbsp; &nbsp; <math>B</math> &nbsp; &nbsp;
! &nbsp; &nbsp; <math>C</math> &nbsp; &nbsp;
! &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\neg A \lor B \lor (C \land \neg A) \lor \neg B \lor C</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
|}
</p>
<br />
<spoiler text="Warum mache ich das?">
<p>
Wenn du von diesem Term ausgehst
</p>
<p>
<math>(\neg A \lor B \lor C) \quad \land \quad (\neg A \lor \neg B \lor C)</math>
</p>
<p>
und einfach die Klammern weglässt
</p>
<p>
<math>\neg A \lor B \lor C \quad \land \quad \neg A \lor \neg B \lor C</math>
</p>
<p>
dann greift die größere Bindungsstärke des logische UND (<math>\land</math>) gegenüber dem logischen ODER (<math>\lor</math>) und du erhältst
</p>
<p>
<math>\neg A \lor B \lor (C \quad \land \quad \neg A) \lor \neg B \lor C</math>
</p>
<p>
Die Terme sind dann nicht mehr logisch äquivalent!
</p>
<p>
<math>(\neg A \lor B \lor C) \quad \land \quad (\neg A \lor \neg B \lor C) \qquad \not\equiv \qquad \neg A \lor B \lor (C \quad \land \quad \neg A) \lor \neg B \lor C</math>
</p>
<p>
Und wenn zwei Terme nicht logisch äquivalent sind, dann sind auch die Ergebnisspalten in der zugehörigen Wahrheitstafel unterschiedlich. Also vervollständige die Tabelle und schau' es dir an:
</p>
<p>
{| class="wikitable"
! &nbsp; <math>A</math> &nbsp;
! &nbsp; <math>B</math> &nbsp;
! &nbsp; <math>C</math> &nbsp;
! &nbsp; <math>(\neg A \lor B \lor C) \land (\neg A \lor \neg B \lor C)</math>&nbsp;
! &nbsp; <math>\neg A \lor B \lor (C \land \neg A) \lor \neg B \lor C</math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math>0</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math>1</math>
| style="text-align:center" | <math></math>
|-
|}
</p><p>
Deshalb denke immer an die [[Junktoren#Unterschiedliche_Bindungsst.C3.A4rken|Bindungsstärke der Junktoren]]!<br>
Und insbesondere an:<br />
Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
</p>
</spoiler>
</loop_task>
</loop_area>
</p>
<br />
=== Aufgabe 3 ===
<p>
<loop_area type="task">
<loop_task title="Eins oder Null bei KNF?" id="5fa95930535b8">
<p>
In einer gegebenen Wahrheitstafel finden sich in der Ergebnisspalte die Funktionswerte Null (0) bzw. Eins (1). Welcher dieser beiden Werte ist für die Bildung der KNF (konjunktiven Normalform) aus der Wahrheitstafel von Bedeutung?</p>
</loop_task>
</loop_area>
</p>
<br />

Aktuelle Version vom 9. November 2020, 16:58 Uhr

Von der Wahrheitstafel zur KNF

Gegeben sei die folgende Wahrheitstafel.
, und sind die Variablen, ist der Funktionswert.


                                           
Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1}


Aus dieser Wahrheitstafel resultiert der folgende Term in KNF (konjunktiver Normalform):

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\neg A \lor B \lor C) \quad \land \quad (\neg A \lor \neg B \lor C)}


Hinweis

Ein Term in KNF ist eine Konjunktion von Disjunktionen!


Das folgende Video zeigt, wie der Term in KNF aus der Wahrheitstafel gebildet wird:

YouTube

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 Med. 29: Von der Wahrheitstafel zur KNF
http://youtu.be/WRYAmf864tQ
CC-BY


Aufgabe 1

Aufgabe
 Aufg. 16: Die Notwendigkeit der Klammern

Warum sind in dem folgenden Term die Klammern wichtig?

Oder anders gefragt:
Was würde sich ändern, wenn man auf die Klammern verzichtet?


Aufgabe 2

Aufgabe
 Aufg. 17: Vervollständige die Tabelle und frag dich warum

Vervollständige die Ergebnisspalte der Wahrheitstafel:

    Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A}         Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B}         Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C}               Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \neg A \lor B \lor (C \land \neg A) \lor \neg B \lor C}          
Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle }
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Aufgabe 3

Aufgabe
 Aufg. 18: Eins oder Null bei KNF?

In einer gegebenen Wahrheitstafel finden sich in der Ergebnisspalte die Funktionswerte Null (0) bzw. Eins (1). Welcher dieser beiden Werte ist für die Bildung der KNF (konjunktiven Normalform) aus der Wahrheitstafel von Bedeutung?


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