Die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen ermitteln

Die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen ermitteln

Scharfes Hinsehen reicht für die Ermittlung der einfachsten Gestalt nicht immer aus, es wird auch Erfahrung dabei benötigt. Und diese Erfahrung wird hier versucht zu vermitteln.

Noch einmal der Reihe nach:

Gegeben war dieser aussagenlogische Term:

$((A\rightarrow B)\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow C$

Dazu wurde die Wahrheitstafel notiert und die Ergebnisspalte berechnet:

$A$	$B$	$C$	$((A\rightarrow B)\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow C$
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

Das scharfe Hinsehen besteht nun daraus, sich die Ergebnisspalte und die drei Spalten mit den Aussagenvariablen genau anzusehen. Was fällt da auf?

video

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 Med. 33: Einfachste Gestalt eines aussagenlogischen Terms durch scharfes Hinsehen ermitteln

http://youtu.be/I3lZjaxtGh0

CC-BY

Wie im Video zu sehen ist, lautet die einfachste Gestalt:

$B\lor C$

Beide Terme sind also logisch äquivalent:

$((A\rightarrow B)\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow C\qquad \equiv \qquad B\lor C$

Noch ein Beispiel

Das folgende Video startet mit dem Term

$(\neg K\rightarrow (\neg W\land \neg R))\land (W\rightarrow K)\land (\neg W\rightarrow (R\land K))\land (\neg R\rightarrow (\neg K\lor W))$

und zeigt die Vereinfachung mit Hilfe einer Wahrheitstafel und scharfem Hinsehen zu

$K\land (W\lor R)$

video

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 Med. 34: Umformungen mit Hilfe einer Wahrheitstafel

https://www.youtube.com/watch?v=MyYntNVZSiM

CC-BY

Weiter scharf Hinsehen!

Wie gesagt: das scharfe Hinsehen erfordert Übung. Also: Fang an zu üben!

Bei drei aussagenlogischen Vaiablen $A$, $B$ und $C$ gibt es insgesamt 2⁸ = 256 Alternativen, wie die Ergebnisspalte in der Wahrheitstafel aussehen kann. Hier kommen einige Beispiele.

Aufgabe 1

Aufgabe

 Aufg. 30: Ermittle die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen!

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

Lösung$0$ $A$ $B$ $C$ $0$

Aufgabe 2

Aufgabe

 Aufg. 31: Ermittle die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen!

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$1$
$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$1$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

Lösung$1$ $A$ $B$ $C$ $1$

Aufgabe 3

Aufgabe

 Aufg. 32: Ermittle die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen!

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$1$

Lösung$B$ $B$ $A$ $C$

Aufgabe 4

Aufgabe

 Aufg. 33: Ermittle die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen!

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$	$0$

Lösung$\neg C$ $C$ $\neg A$ $\neg B$

Aufgabe 5

Aufgabe

 Aufg. 34: Ermittle die einfachste Gestalt durch scharfes Hinsehen!

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	$1$
$0$	$0$	$1$	$0$
$0$	$1$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$
$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$	$0$

Lösung$\neg (B\lor C)$ $(\neg B\land \neg C)$

Üben in der Lerngruppe!

Jetzt geht es darum, mal selbst etwas kreativ zu sein:

Aufgabe 6

Aufgabe

 Aufg. 35: Notiere eine beliebige Ergebnisspalte und lass die anderen Mitglieder deiner Lerngruppe scharf hinsehen!

Hier ist eine vorbereitete Wahrheitstafel. Ergänze einfach die Werte in der rechten Spalte und los geht's.

$A$	$B$	$C$	Einfachste Gestalt?
$0$	$0$	$0$	${\displaystyle }$
$0$	$0$	$1$	${\displaystyle }$
$0$	$1$	$0$	${\displaystyle }$
$0$	$1$	$1$	${\displaystyle }$
$1$	$0$	$0$	${\displaystyle }$
$1$	$0$	$1$	${\displaystyle }$
$1$	$1$	$0$	${\displaystyle }$
$1$	$1$	$1$	${\displaystyle }$

Sicherlich: das scharfe Hinsehen funktioniert in vielen Fällen. Und je mehr man das Spielchen der vorangegangenen Aufgabe treibt, desto besser kann man scharf hinsehen. Die Erfahrung in diesem Punkt wird größer, der mathematische Verstand wird schärfer.

Aber seien wir ehrlich: Das scharfe Hinsehen funktioniert nicht in jedem Fall. Und da wo es nicht funktioniert, helfen KV-Diagramme weiter.