6.2.10 Aussagenlogische Formeln vereinfachen
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\begin{alignat}{2} | \begin{alignat}{2} | ||
& ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z & \qquad [\text{ | & ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z ) ) \rightarrow Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\ | ||
\equiv \quad& \neg ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad& \neg ( ( X \rightarrow Y ) \rightarrow ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\ | ||
\equiv \quad & \neg ( \neg ( X \rightarrow Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & \neg ( \neg ( X \rightarrow Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\ | ||
\equiv \quad & \neg ( \neg ( \neg X \lor Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & \neg ( \neg ( \neg X \lor Y ) \lor ( Y \rightarrow Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{Implikation umformen}] \\ | ||
\equiv \quad & \neg(\ \neg( \neg X \lor Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & \neg(\ \neg( \neg X \lor Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & \neg(\ ( X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & \neg(\ ( X \land \neg Y ) \lor ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & \neg(\ X \land \neg Y ) \land \neg ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & \neg(\ X \land \neg Y ) \land \neg ( \neg Y \lor Z )\ ) \lor Z & \qquad [\text{De Morgansches Gesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Klammern auflösen}] \\ | \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land ( Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Klammern auflösen}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\ | \equiv \quad & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ (\ Y \lor \neg X ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ (\ Y \lor \neg X ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Kommutativgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ Y \land (\ Y \lor \neg X ) \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ Y \land (\ Y \lor \neg X ) \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Absorptionsgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ Y \land \neg Z ) \lor Z & \qquad [\text{Distributivgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land ( \neg Z \lor Z ) & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land ( \neg Z \lor Z ) & \qquad [\text{Komplementärgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land 1 & \qquad [\text{ | \equiv \quad & (\ Y \lor Z ) \land 1 & \qquad [\text{Neutralitätsgesetz}] \\ | ||
\equiv \quad & Y \lor Z & \qquad [\text{Fertig}] \\ | \equiv \quad & Y \lor Z & \qquad [\text{Fertig}] \\ | ||
\end{alignat} | \end{alignat} | ||
</math> | </math> | ||
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z))\rightarrow Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg ((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\neg (X\rightarrow Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\neg (\neg X\lor Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\ \neg (\neg X\lor Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &\neg (\ (X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &\neg (\ X\land \neg Y)\land \neg (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Klammern auflösen}}]\\\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z\lor Z&\qquad [{\text{Bindungsstärke beachten!}}]\\\equiv \quad &(\ (\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ (\ Y\lor \neg X)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\land (\ Y\lor \neg X)\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Absorptionsgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Distributivgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land (\neg Z\lor Z)&\qquad [{\text{Komplementärgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land 1&\qquad [{\text{Neutralitätsgesetz}}]\\\equiv \quad &Y\lor Z&\qquad [{\text{Fertig}}]\\\end{alignedat}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d50ff32882063aecc114537d0a54cea0aa94c0)