Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Beweis:

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

$\neg 0=1\qquad \qquad \neg 1=0$

Doppelnegationsgesetz

$\neg (\neg a)=a$

Neutralitätsgesetze

$a\land 1=a\qquad \qquad a\lor 0=a$

Extremalgesetze

$a\land 0=0\qquad \qquad a\lor 1=1$

Kommutativgesetze

$a\land b=b\land a\qquad \qquad a\lor b=b\lor a$

Assoziativgesetze

$(a\land b)\land c=a\land (b\land c)\qquad \qquad (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)$

Idempotenzgesetze

$a\land a=a\qquad \qquad a\lor a=a$

Distributivgesetze

$a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)\qquad \qquad a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)$

De Morgansche Gesetze

$\neg (a\land b)=\neg a\lor \neg b\qquad \qquad \neg (a\lor b)=\neg a\land \neg b$

Komplementärgesetze

$a\land \neg a=0\qquad \qquad a\lor \neg a=1$

Absorptionsgesetze

$a\lor (a\land b)=a\qquad \qquad a\land (a\lor b)=a$