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Version vom 4. Oktober 2014, 09:29 Uhr

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)

Beweis:

{\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

YouTube

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Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

\neg 0=1\qquad \qquad \neg 1=0

Doppelnegationsgesetz

\neg (\neg A)=\neg \neg A=A

Neutralitätsgesetze

A\land 1=A\qquad \qquad A\lor 0=A

Extremalgesetze

A\land 0=0\qquad \qquad A\lor 1=1

Kommutativgesetze

A\land B=B\land A\qquad \qquad A\lor B=B\lor A

Assoziativgesetze

(A\land B)\land C=A\land (B\land C)\qquad \qquad (A\lor B)\lor C=A\lor (B\lor C)

Idempotenzgesetze

A\land A=A\qquad \qquad A\lor A=A

Distributivgesetze

A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)\qquad \qquad A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C)

De Morgansche Gesetze

\neg (A\land B)=\neg A\lor \neg B\qquad \qquad \neg (A\lor B)=\neg A\land \neg B

Komplementärgesetze

A\land \ negA=0\qquad \qquad A\lor \neg A=1

Absorptionsgesetze

A\lor (A\land B)=A\qquad \qquad A\land (A\lor B)=A

@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 ==== Doppelnegationsgesetz ====
 :<math>
-\neg(\neg a) =\neg \neg A = A
+\neg(\neg A) =\neg \neg A = A
 </math>
 ==== Neutralitätsgesetze ====
 :<math>
-a\land 1 = a
+A \land 1 = A
 \qquad \qquad
-a\lor 0 = a
+A \lor 0 = A
 </math>
 ==== Extremalgesetze ====
 :<math>
-a\land 0=0
+A \land 0=0
 \qquad \qquad
-a\lor 1=1
+A \lor 1=1
 </math>
 ==== Kommutativgesetze ====
 :<math>
-a\land b = b\land a
+A \land B = B \land A
 \qquad \qquad
-a\lor b = b\lor a
+A \lor B = B \lor A
 </math>
 ==== Assoziativgesetze ====
 :<math>
-(a\land b)\land c = a\land (b\land c)
+(A \land B)\land C = A \land (B \land C)
 \qquad \qquad
-(a\lor b)\lor c = a\lor (b\lor c)
+(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)
 </math>
 ==== Idempotenzgesetze ====
 :<math>
-a\land a=a
+A \land A = A
 \qquad \qquad
-a\lor a=a
+A \lor A = A
 </math>
 ==== Distributivgesetze ====
 :<math>
-a\land (b\lor c) = (a\land b) \lor (a \land c)
+A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)
 \qquad \qquad
-a\lor (b\land c) = (a\lor b) \land (a \lor c)
+A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)
 </math>
 ==== De Morgansche Gesetze ====
 :<math>
-\neg(a\land b)=\neg a\lor\neg b
+\neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B
 \qquad \qquad
-\neg(a\lor b)=\neg a\land\neg b
+\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B
 </math>
 ==== Komplementärgesetze ====
 :<math>
-a\land\neg a=0
+A \land\ neg A = 0
 \qquad \qquad
-a\lor\neg a=1
+A \lor \neg A = 1
 </math>
 ==== Absorptionsgesetze ====
 :<math>
-a\lor(a\land b)=a
+A \lor (A \land B) = A
 \qquad \qquad
-a\land(a\lor b)=a
+A \land (A \lor B) = A
 </math>

6.2.8 Logische Identitäten