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Aktuelle Version vom 7. Oktober 2014, 17:04 Uhr

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man einerseits die im folgenden aufgelisteten Gesetze, und andererseits die weiter unten beschriebenen weiteren logischen Identitäten.

Dualitätsgesetze

\begin{aligned} \neg 0 \equiv 1 \\ \neg 1 \equiv 0 \end{aligned}

Doppelnegationsgesetz

\begin{aligned} \neg (\neg A) \equiv \neg \neg A \equiv A \end{aligned}

Neutralitätsgesetze

\begin{aligned} A \land 1 \equiv A \\ A \lor 0 \equiv A \end{aligned}

Extremalgesetze

\begin{aligned} A \land 0 \equiv 0 \\ A \lor 1 \equiv 1 \end{aligned}

Kommutativgesetze

\begin{aligned} A \land B \equiv B \land A \\ A \lor B \equiv B \lor A \end{aligned}

Assoziativgesetze

\begin{aligned} (A \land B) \land C \equiv A \land (B \land C) \\ (A \lor B) \lor C \equiv A \lor (B \lor C) \end{aligned}

Idempotenzgesetze

\begin{aligned} A \land A \equiv A \\ A \lor A \equiv A \end{aligned}

Distributivgesetze

\begin{aligned} A \land (B \lor C) \equiv (A \land B) \lor (A \land C) \\ A \lor (B \land C) \equiv (A \lor B) \land (A \lor C) \end{aligned}

De Morgansche Gesetze

\begin{aligned} \neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B \\ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B \end{aligned}

Komplementärgesetze

\begin{aligned} A \land \neg A \equiv 0 \\ A \lor \neg A \equiv 1 \end{aligned}

Absorptionsgesetze

\begin{aligned} A \lor (A \land B) \equiv A \\ A \land (A \lor B) \equiv A \end{aligned}

Weitere logische Identitäten

\begin{aligned} (A \to B) & \equiv (\neg A \lor B) \\ (A \to B) & \equiv (\neg B \to \neg A) \\ (A \leftrightarrow B) & \equiv (A \to B) \land (B \to A) \\ (\neg A \land B) \lor A & \equiv (B \lor A) \\ (\neg A \lor B) \land A & \equiv (B \land A) \\ (A \land B) \lor (A \land \neg B) & \equiv A \\ (A \lor B) \land (A \lor \neg B) & \equiv A \end{aligned}

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 =Logische Identitäten=
-Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):<br />
+Unter logischen Identitäten versteht man einerseits die im folgenden aufgelisteten Gesetze, und andererseits die weiter unten beschriebenen [[Logische_Identitäten#Weitere_logische_Identit.C3.A4ten|weiteren logischen Identitäten]].
-http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition<br />
-<br />
-Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).
-<loop_area type="example">
-Beweise mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition Gesetze aus Wikipedia]:<br />
-:<math>( \neg A \wedge B ) \vee A \quad \equiv \quad ( B \vee A )</math>
 <br />
-Beweis:
+=== Dualitätsgesetze ===
-:<math>\begin{alignat}{2}
+:<math>
-& ( \neg A \wedge B ) \vee A && \text{jetzt Distributivgesetz anwenden} \\
+\begin{align}
-\equiv \qquad & ( \neg A \vee A) \wedge (B \vee A ) \qquad && \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden} \\
+\neg 0 \; \equiv \; 1
-\equiv \qquad &  1 \wedge (B \vee A ) && \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden} \\
+\\[.2cm]
-\equiv \qquad & ( B \vee A ) && \text{fertig}
+\neg 1 \; \equiv \; 0
-\end{alignat}</math>
+\end{align}
-</loop_area>
+</math>
-<br />
+=== Doppelnegationsgesetz ===
-<loop_area type="task">
-Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:<br />
-:<math>( \neg A \wedge B ) \vee A \quad \equiv \quad ( B \vee A )</math>
-</loop_area>
-<br />
-Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:<br />
-<p>
-<loop_media type="video" title="Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten" description="http://youtu.be/vcklrdE8sKs" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
-{{#ev:youtube|vcklrdE8sKs|700}}
-</loop_media>
-</p>
-==== Dualitätsgesetze ====
 :<math>
-\neg 0 \equiv 1
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+\neg(\neg A) \; \equiv \; \neg \neg A \; \equiv \; A
-\neg 1 \equiv 0
+\end{align}
 </math>
-==== Doppelnegationsgesetz ====
+=== Neutralitätsgesetze ===
 :<math>
-\neg(\neg A) \equiv \neg \neg A \equiv A
+\begin{align}
+A \land 1 \; \equiv \; A
+\\[.2cm]
+A \lor 0 \; \equiv \; A
+\end{align}
 </math>
-==== Neutralitätsgesetze ====
+=== Extremalgesetze ===
 :<math>
-A \land 1 \equiv A
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \land 0 \; \equiv \; 0
-A \lor 0 \equiv A
+\\[.2cm]
+A \lor 1 \; \equiv \; 1
+\end{align}
 </math>
-==== Extremalgesetze ====
+=== Kommutativgesetze ===
 :<math>
-A \land 0 \equiv 0
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \land B \; \equiv \; B \land A
-A \lor 1 \equiv 1
+\\[.2cm]
+A \lor B \; \equiv \; B \lor A
+\end{align}
 </math>
-==== Kommutativgesetze ====
+=== Assoziativgesetze ===
 :<math>
-A \land B \equiv B \land A
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+(A \land B)\land C \; \equiv \; A \land (B \land C)
-A \lor B \equiv B \lor A
+\\[.2cm]
+(A \lor B) \lor C \; \equiv \; A \lor (B \lor C)
+\end{align}
 </math>
-==== Assoziativgesetze ====
+=== Idempotenzgesetze ===
 :<math>
-(A \land B)\land C \equiv A \land (B \land C)
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \land A \; \equiv \; A
-(A \lor B) \lor C \equiv A \lor (B \lor C)
+\\[.2cm]
+A \lor A \; \equiv \; A
+\end{align}
 </math>
-==== Idempotenzgesetze ====
+=== Distributivgesetze ===
 :<math>
-A \land A \equiv A
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \land (B \lor C) \; \equiv \; (A \land B) \lor (A \land C)
-A \lor A \equiv A
+\\[.2cm]
+A \lor (B \land C) \; \equiv \; (A \lor B) \land (A \lor C)
+\end{align}
 </math>
-==== Distributivgesetze ====
+=== De Morgansche Gesetze ===
 :<math>
-A \land (B \lor C) \equiv (A \land B) \lor (A \land C)
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+\neg (A \land B) \; \equiv \; \neg A \lor \neg B
-A \lor (B \land C) \equiv (A \lor B) \land (A \lor C)
+\\[.2cm]
+\neg (A \lor B) \; \equiv \; \neg A \land \neg B
+\end{align}
 </math>
-==== De Morgansche Gesetze ====
+=== Komplementärgesetze ===
 :<math>
-\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \land \neg A \; \equiv \; 0
-\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B
+\\[.2cm]
+A \lor \neg A \; \equiv \; 1
+\end{align}
 </math>
-==== Komplementärgesetze ====
+=== Absorptionsgesetze ===
 :<math>
-A \land\ neg A \equiv 0
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+A \lor (A \land B) \; \equiv \; A
-A \lor \neg A \equiv 1
+\\[.2cm]
+A \land (A \lor B) \; \equiv \; A
+\end{align}
 </math>
-==== Absorptionsgesetze ====
+<br />
+=== Weitere logische Identitäten ===
 :<math>
-A \lor (A \land B) \equiv A
+\begin{align}
-\qquad \qquad
+(A \rightarrow B) \;  & \equiv \; (\neg A \lor B)
-A \land (A \lor B) \equiv A
+\\[.2cm]
+(A \rightarrow B) \; & \equiv \; (\neg B \rightarrow \neg A)
+\\[.2cm]
+(A \leftrightarrow B) \; & \equiv \; (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)
+\\[.2cm]
+\\[.2cm]
+( \neg A \land B ) \lor A \; & \equiv \; ( B \lor A )
+\\[.2cm]
+( \neg A \lor B ) \land A \; & \equiv \; ( B \land A )
+\\[.2cm]
+\\[.2cm]
+( A \land B ) \lor (A \land \neg B) \; & \equiv \; A
+\\[.2cm]
+( A \lor B ) \land (A \lor \neg B) \; & \equiv \; A
+\end{align}
 </math>

6.2.8 Logische Identitäten

Aktuelle Version vom 7. Oktober 2014, 17:04 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Logische Identitäten

Dualitätsgesetze

Doppelnegationsgesetz

Neutralitätsgesetze

Extremalgesetze

Kommutativgesetze

Assoziativgesetze

Idempotenzgesetze

Distributivgesetze

De Morgansche Gesetze

Komplementärgesetze

Absorptionsgesetze

Weitere logische Identitäten