Zeile 146:
Zeile 146: & & - \quad & 72\\[.8cm]
& & - \quad & 72\\[.8cm]
& = & \ 0\\[.2cm]
\end{align}
</math>
</spoiler>
</p>
</loop_task>
</loop_area>
</p>
<br />
== Aufgabe 4 ==
<p>
<loop_area type="task">
<loop_task title="Berechne den Wert der Determinate!">
<p>
:<math>
\begin{align}
D & = & \ & \
\ \begin{vmatrix}
2 & 2 & 1 \\
2 & 0 & 4 \\
2 & 4 & -2 \\
\end{vmatrix}\\[.8cm]
\end{align}
</math>
<spoiler text="Lösung">
:<math>
\begin{align}
& = & \ 0\\[.2cm]
& = & \ 0\\[.2cm]
\end{align}
\end{align}
Version vom 13. Februar 2015, 09:18 Uhr
Regel von Sarrus
Mit Hilfe der Regel von Sarrus kann der Wert einer Determinante dritter Ordnung sehr leicht berechnet werden.
Aufgabe 1
Aufgabe
Mache dich mit der Regel von Sarrus vertraut! Erarbeite insbesondere, wie mit Hilfe dieser Regel der Wert einer Determinate dritter Ordnung berechnet wird.
Folgende Quellen erläutern die Regel von Sarrus :
Beispiel
Der Wert der folgenden Determinante wird mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnet:
D
=
|
1
−
2
3
−
4
5
−
6
7
8
9
|
=
1
⋅
5
⋅
9
+
(
−
2
)
⋅
(
−
6
)
⋅
7
+
3
⋅
(
−
4
)
⋅
8
−
(
7
⋅
5
⋅
3
)
−
(
8
⋅
(
−
6
)
⋅
1
)
−
(
9
⋅
(
−
4
)
⋅
(
−
2
)
)
=
45
+
84
+
(
−
96
)
−
105
−
(
−
48
)
−
72
=
−
96
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &(-2)\cdot (-6)\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot (-4)\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot (-6)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot (-4)\cdot (-2)\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &(-96)\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &(-48)\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ -96\\[.2cm]\end{aligned}}}
Hinweis
Eine große Fehlerquelle sind erfahrungsgemäß immer die Minuszeichen. Hier ist unbedingt darauf zu achten, dass das Vorzeichen des (Teil-) Ergebnisses korrekt bestimmt wird!
Aufgabe 2
Aufgabe
D
=
|
−
2
1
1
1
−
2
1
1
1
−
2
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
=
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
+
1
⋅
1
⋅
1
+
1
⋅
1
⋅
1
−
(
1
⋅
(
−
2
)
⋅
1
)
−
(
1
⋅
1
⋅
(
−
2
)
)
−
(
(
−
2
)
⋅
1
⋅
1
)
=
(
−
8
)
+
1
+
1
−
(
−
2
)
−
(
−
2
)
−
(
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&=&\ &(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot (-2)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot 1\cdot (-2)\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad )\\[.8cm]&=&\ &(-8)\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}}
Aufgabe 3
Aufgabe
D
=
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ \ {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
=
1
⋅
5
⋅
9
+
2
⋅
6
⋅
7
+
3
⋅
4
⋅
8
−
(
7
⋅
5
⋅
3
)
−
(
8
⋅
6
⋅
1
)
−
(
9
⋅
4
⋅
2
)
=
45
+
84
+
96
−
105
−
48
−
72
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &2\cdot 6\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot 4\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot 6\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot 4\cdot 2\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &96\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &48\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}}
Aufgabe 4
Aufgabe
D
=
|
2
2
1
2
0
4
2
4
−
2
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ \ {\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&4\\2&4&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &(-2)\cdot (-6)\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot (-4)\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot (-6)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot (-4)\cdot (-2)\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &(-96)\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &(-48)\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ -96\\[.2cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f18069d58a6634dc3904f629750df9974a61ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c279280ccd29b51c8102dfd857aa4c44893ff9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ \ {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d6aeda7143ee792605a649d1f9e012896627234)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ \ {\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&4\\2&4&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d1f5b17d6599e2e74f749b3873017b77e6a5e8)