Die Sache mit der Bindungsstärke

Die Sache mit der Bindungsstärke

In dem gezeigten Lösungsweg wird an einer Stelle auf die Bindungsstärke hingewiesen.

Die Bindungsstärke der Junktoren ist vergleichbar mit der Bedeutung des allgemein bekannten mathematischen Grundsatzes: Punkt- vor Strichrechnung.

Wichtig

Punkt- vor Strichrechnung

Du erinnerst dich in Bezug auf Addition und Multiplikation an:

$1+2*3+4=1+(2*3)+4=1+6+4=11$

Man kann hier sagen: Die Bindungsstärke der Multiplikation (*) ist größer als die Bindungsstärke der Addition (+). Aus diesem Grund muss die Multiplikation vor den beiden Additionen ausgeführt werden.
Die Klammern bei   $(2*3)$   können gesetzt werden, sie müssen aber nicht gesetzt werden.

Falls die Additionen vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen entsprechend andere Klammern gesetzt werden:

$(1+2)*(3+4)=3*7=21$

Allerdings ist das Ergebnis dann auch ein Anderes!   $(11\ne 21)$

Die Klammern bei   $(1+2)$   sowie bei   $(3+4)$   müssen in diesem Fall gesetzt sein, sie dürfen nicht entfallen.

Frage

Wie lautet das Ergebnis dieser Rechnung:

$(1+2)*3+4=?$

Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik

Die Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ist nun wie folgt definiert:

Wichtig

$\mathrm{\neg }$ bindet am stärksten, dahinter folgen $\wedge ,\vee ,\to$ und $\leftrightarrow$

Analog zu Punkt- vor Strichrechnung lässt sich hier also festhalten:

Wichtig

• Die Negation ($\mathrm{\neg }$) bindet stärker als das logische UND ($\wedge$).
• Das logische UND ($\wedge$) bindet stärker als das logischen ODER ($\vee$).
• Das logische ODER ($\vee$) bindet stärker als die Implikation ($\to$).
• Die Implikation ($\to$) bindet stärker als die Äquivalenz ($\leftrightarrow$).

Hier noch einmal der Auszug aus dem gezeigten Lösungsweg, in dem auf die Beachtung der Bindungsstärke hingewiesen wird:

$\begin{array}{rlr}& (\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge Y\wedge \mathrm{\neg }Z\vee Z& [\text{Bindungsstärke beachten!}]\\ \equiv & ((\mathrm{\neg }X\vee Y)\wedge Y\wedge \mathrm{\neg }Z)\vee Z& \\ \end{array}$

Hinweis

In der unteren Zeile ist ein Klammerpaar hinzugekommen. Dieses Klammerpaar kann gesetzt werden, es muss aber nicht gesetzt werden.

Dieses folgt direkt aus dem Grundsatz:
Das logische UND ($\wedge$) bindet stärker als das logischen ODER ($\vee$).

Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg freiwillig gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von     $\mathrm{\neg }Z\vee Z$     zu     $1$     an dieser Stelle nicht erlaubt ist.

Aufgabe 1

Aufgabe

 Aufg. : Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?

Oder anders gefragt:
Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein   $\equiv$   oder ein   $\equiv ̸$   ersetzt werden?

1.     $\mathrm{\neg }A\vee B???\mathrm{\neg }(A\vee B)$
   
   
2.     $\mathrm{\neg }A\vee B???(\mathrm{\neg }A)\vee B$
   
   
3.     $\mathrm{\neg }A\wedge B???\mathrm{\neg }(A\wedge B)$
   
   
4.     $\mathrm{\neg }A\wedge B???(\mathrm{\neg }A)\wedge B$
   
   
5.     $A\vee B\wedge C???(A\vee B)\wedge C$
   
   
6.     $A\vee B\wedge C???A\vee (B\wedge C)$
   
   
7.     $A\vee B\wedge C???(A\vee B\wedge C)$
   
   
8.     $A\wedge B\vee C\wedge D???(A\wedge B)\vee (C\wedge D)$
   
   
9.     $A\wedge B\vee C\wedge D???A\wedge (B\vee C)\wedge D$
   
   
10.     $A\wedge B\wedge C\wedge D???A\wedge (B\wedge C)\wedge D$
    
    
11.     $A\vee B\to C???(A\vee B)\to C$
    
    
12.     $A\vee B\to C???A\vee (B\to C)$
    
    
13.     $A\wedge B\to C???A\wedge (B\to C)$
    
    
14.     $A\wedge B\to C???(A\wedge B)\to C$
    
    
15.     $A\to B\leftrightarrow C???(A\to B)\leftrightarrow C$
    
    
16.     $A\to B\leftrightarrow C???A\to (B\leftrightarrow C)$
    
    
17.     $A\to B\leftrightarrow C\to D???A\to (B\leftrightarrow C)\to D$
    
    
18.     $A\to B\leftrightarrow C\to D???((A\to B)\leftrightarrow C)\to D$
    
    
19.     $A\to B\leftrightarrow C\to D???(A\to B)\leftrightarrow (C\to D)$
    
    
20.     $A\to B\leftrightarrow C\to D???A\to B\leftrightarrow (C\to D)$
    
    

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Aufgabe 2

Aufgabe

 Aufg. : Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?

Oder anders gefragt:
Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein   $\equiv$   oder ein   $\equiv ̸$   ersetzt werden?

$\begin{array}{rccc}\text{a)}& \mathrm{\neg }A\vee B& ???& \mathrm{\neg }(A\vee B)\\ \text{b)}& \mathrm{\neg }A\vee B& ???& (\mathrm{\neg }A)\vee B\\ \text{a)}& \mathrm{\neg }A\wedge B& ???& \mathrm{\neg }(A\wedge B)\\ \text{a)}& \mathrm{\neg }A\wedge B& ???& (\mathrm{\neg }A)\wedge B\\ \text{a)}& A\vee B\wedge C& ???& (A\vee B)\wedge C\\ \text{a)}& A\vee B\wedge C& ???& A\vee (B\wedge C)\\ \text{a)}& A\vee B\wedge C& ???& (A\vee B\wedge C)\\ \text{a)}& A\wedge B\vee C\wedge D& ???& (A\wedge B)\vee (C\wedge D)\\ \text{a)}& A\wedge B\vee C\wedge D& ???& A\wedge (B\vee C)\wedge D\\ \text{a)}& A\wedge B\wedge C\wedge D& ???& A\wedge (B\wedge C)\wedge D\\ \text{a)}& A\vee B\to C& ???& (A\vee B)\to C\\ \text{a)}& A\vee B\to C& ???& A\vee (B\to C)\\ \text{a)}& A\wedge B\to C& ???& A\wedge (B\to C)\\ \text{a)}& A\wedge B\to C& ???& (A\wedge B)\to C\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C& ???& (A\to B)\leftrightarrow C\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C& ???& A\to (B\leftrightarrow C)\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C\to D& ???& A\to (B\leftrightarrow C)\to D\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C\to D& ???& ((A\to B)\leftrightarrow C)\to D\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C\to D& ???& (A\to B)\leftrightarrow (C\to D)\\ \text{a)}& A\to B\leftrightarrow C\to D& ???& A\to B\leftrightarrow (C\to D)\\ \end{array}$

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