Aussagenlogische Formeln vereinfachen

Aussagenlogische Formeln vereinfachen

Aufgabe

Nutze logische Identitäten, um die folgende aussagenlogische Formel auf möglichst einfache Gestalt zu bringen:

$((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z))\rightarrow Z$

Ein möglicher Lösungsweg

Die folgende Aneinanderreihung der Anwendung der Gesetze stellt einen möglichen Lösungsweg dar. Es gibt darüber hinaus jedoch noch viele alternative Lösungswege, welche am Ende alle zum gleichen Ziel führen.

${\begin{alignedat}{2}&((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z))\rightarrow Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg ((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\neg (X\rightarrow Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\neg (\neg X\lor Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ \neg (\neg X\lor Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ (\neg \neg X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Doppelnegationsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ (X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &\neg (\ X\land \neg Y)\land \neg (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (\neg \neg Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Doppelnegationsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Klammern auflösen}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z\lor Z&\qquad [{\text{Bindungsstärke beachten!}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ (\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ (\ Y\lor \neg X)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\land (\ Y\lor \neg X)\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Absorptionsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Distributivgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land (\neg Z\lor Z)&\qquad [{\text{Komplementärgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land 1&\qquad [{\text{Neutralitätsgesetz}}]\\[.3cm]\equiv \quad &Y\lor Z&\qquad [{\text{Fertig}}]\\[.3cm]\end{alignedat}}$