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Version vom 4. Oktober 2014, 09:31 Uhr

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)

Beweis:

{\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

YouTube

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Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

\neg 0\equiv 1\qquad \qquad \neg 1\equiv 0

Doppelnegationsgesetz

\neg (\neg A)\equiv \neg \neg A\equiv A

Neutralitätsgesetze

A\land 1\equiv A\qquad \qquad A\lor 0\equiv A

Extremalgesetze

A\land 0\equiv 0\qquad \qquad A\lor 1\equiv 1

Kommutativgesetze

A\land B\equiv B\land A\qquad \qquad A\lor B\equiv B\lor A

Assoziativgesetze

(A\land B)\land C\equiv A\land (B\land C)\qquad \qquad (A\lor B)\lor C\equiv A\lor (B\lor C)

Idempotenzgesetze

A\land A\equiv A\qquad \qquad A\lor A\equiv A

Distributivgesetze

A\land (B\lor C)\equiv (A\land B)\lor (A\land C)\qquad \qquad A\lor (B\land C)\equiv (A\lor B)\land (A\lor C)

De Morgansche Gesetze

\neg (A\land B)\equiv \neg A\lor \neg B\qquad \qquad \neg (A\lor B)\equiv \neg A\land \neg B

Komplementärgesetze

A\land \ negA\equiv 0\qquad \qquad A\lor \neg A\equiv 1

Absorptionsgesetze

A\lor (A\land B)\equiv A\qquad \qquad A\land (A\lor B)\equiv A

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 ==== Dualitätsgesetze ====
 :<math>
-\neg 0 = 1
+\neg 0 \equiv 1
 \qquad \qquad
-\neg 1 = 0
+\neg 1 \equiv 0
 </math>
 ==== Doppelnegationsgesetz ====
 :<math>
-\neg(\neg A) =\neg \neg A = A
+\neg(\neg A) \equiv \neg \neg A \equiv A
 </math>
 ==== Neutralitätsgesetze ====
 :<math>
-A \land 1 = A
+A \land 1 \equiv A
 \qquad \qquad
-A \lor 0 = A
+A \lor 0 \equiv A
 </math>
 ==== Extremalgesetze ====
 :<math>
-A \land 0=0
+A \land 0 \equiv 0
 \qquad \qquad
-A \lor 1=1
+A \lor 1 \equiv 1
 </math>
 ==== Kommutativgesetze ====
 :<math>
-A \land B = B \land A
+A \land B \equiv B \land A
 \qquad \qquad
-A \lor B = B \lor A
+A \lor B \equiv B \lor A
 </math>
 ==== Assoziativgesetze ====
 :<math>
-(A \land B)\land C = A \land (B \land C)
+(A \land B)\land C \equiv A \land (B \land C)
 \qquad \qquad
-(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C)
+(A \lor B) \lor C \equiv A \lor (B \lor C)
 </math>
 ==== Idempotenzgesetze ====
 :<math>
-A \land A = A
+A \land A \equiv A
 \qquad \qquad
-A \lor A = A
+A \lor A \equiv A
 </math>
 ==== Distributivgesetze ====
 :<math>
-A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)
+A \land (B \lor C) \equiv (A \land B) \lor (A \land C)
 \qquad \qquad
-A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)
+A \lor (B \land C) \equiv (A \lor B) \land (A \lor C)
 </math>
 ==== De Morgansche Gesetze ====
 :<math>
-\neg (A \land B) = \neg A \lor \neg B
+\neg (A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B
 \qquad \qquad
-\neg (A \lor B) = \neg A \land \neg B
+\neg (A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B
 </math>
 ==== Komplementärgesetze ====
 :<math>
-A \land\ neg A = 0
+A \land\ neg A \equiv 0
 \qquad \qquad
-A \lor \neg A = 1
+A \lor \neg A \equiv 1
 </math>
 ==== Absorptionsgesetze ====
 :<math>
-A \lor (A \land B) = A
+A \lor (A \land B) \equiv A
 \qquad \qquad
-A \land (A \lor B) = A
+A \land (A \lor B) \equiv A
 </math>

6.2.8 Logische Identitäten