Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Beweis:

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

$\neg 0\equiv 1\qquad \qquad \neg 1\equiv 0$

Doppelnegationsgesetz

$\neg (\neg A)\equiv \neg \neg A\equiv A$

Neutralitätsgesetze

$A\land 1\equiv A\qquad \qquad A\lor 0\equiv A$

Extremalgesetze

$A\land 0\equiv 0\qquad \qquad A\lor 1\equiv 1$

Kommutativgesetze

$A\land B\equiv B\land A\qquad \qquad A\lor B\equiv B\lor A$

Assoziativgesetze

$(A\land B)\land C\equiv A\land (B\land C)\qquad \qquad (A\lor B)\lor C\equiv A\lor (B\lor C)$

Idempotenzgesetze

$A\land A\equiv A\qquad \qquad A\lor A\equiv A$

Distributivgesetze

$A\land (B\lor C)\quad \equiv \quad (A\land B)\lor (A\land C)\qquad \qquad A\lor (B\land C)\quad \equiv \quad (A\lor B)\land (A\lor C)$

De Morgansche Gesetze

$\neg (A\land B)\equiv \neg A\lor \neg B\qquad \qquad \neg (A\lor B)\equiv \neg A\land \neg B$

Komplementärgesetze

$A\land \neg A\equiv 0\qquad \qquad A\lor \neg A\equiv 1$

Absorptionsgesetze

$A\lor (A\land B)\equiv A\qquad \qquad A\land (A\lor B)\equiv A$