Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Beweis:

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Gesetze

Dualitätsgesetze

${\begin{aligned}\neg 0\;\equiv \;1\\[.2cm]\neg 1\;\equiv \;0\end{aligned}}$

Doppelnegationsgesetz

${\begin{aligned}\neg (\neg A)\;\equiv \;\neg \neg A\;\equiv \;A\end{aligned}}$

Neutralitätsgesetze

${\begin{aligned}A\land 1\;\equiv \;A\\[.2cm]A\lor 0\;\equiv \;A\end{aligned}}$

Extremalgesetze

${\begin{aligned}A\land 0\;\equiv \;0\\[.2cm]A\lor 1\;\equiv \;1\end{aligned}}$

Kommutativgesetze

${\begin{aligned}A\land B\;\equiv \;B\land A\\[.2cm]A\lor B\;\equiv \;B\lor A\end{aligned}}$

Assoziativgesetze

${\begin{aligned}(A\land B)\land C\;\equiv \;A\land (B\land C)\\[.2cm](A\lor B)\lor C\;\equiv \;A\lor (B\lor C)\end{aligned}}$

Idempotenzgesetze

${\begin{aligned}A\land A\;\equiv \;A\\[.2cm]A\lor A\;\equiv \;A\end{aligned}}$

Distributivgesetze

${\begin{aligned}A\land (B\lor C)\;\equiv \;(A\land B)\lor (A\land C)\\[.2cm]A\lor (B\land C)\;\equiv \;(A\lor B)\land (A\lor C)\end{aligned}}$

De Morgansche Gesetze

${\begin{aligned}\neg (A\land B)\;\equiv \;\neg A\lor \neg B\\[.2cm]\neg (A\lor B)\;\equiv \;\neg A\land \neg B\end{aligned}}$

Komplementärgesetze

${\begin{aligned}A\land \neg A\;\equiv \;0\\[.2cm]A\lor \neg A\;\equiv \;1\end{aligned}}$

Absorptionsgesetze

${\begin{aligned}A\lor (A\land B)\;\equiv \;A\\[.2cm]A\land (A\lor B)\;\equiv \;A\end{aligned}}$

Weitere logische Identitäten

${\begin{aligned}(A\rightarrow B)\;\equiv \;(\neg A\lor B)\\[.2cm](A\rightarrow B)\;\equiv \;(\neg B\rightarrow \neg A)\\[.2cm](A\leftrightarrow B)\;\equiv \;(A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)\\[.2cm](\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)\end{aligned}}$