6.2.9 Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

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# mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten
# mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten


<br />
=== Beweisführung anhand einer Wahheitstafel ===
<loop_area type="task">
<loop_area type="task">
Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:<br />
Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:<br />
:<math>( \neg A \wedge B ) \vee A \quad \equiv \quad ( B \vee A )</math>
:<math>
(A \leftrightarrow B) \; \equiv \; (A \rightarrow B) \land (B \rightarrow A)
</math>
</loop_area>
</loop_area>
<br />
<br />
Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:<br />
Das folgende Video zeigt die Beweisführung:
 
<p>
<p>
<loop_media type="video" title="Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten" description="http://youtu.be/vcklrdE8sKs" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
<loop_media type="video" title="Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten" description="http://youtu.be/vcklrdE8sKs" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
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</p>
</p>


<loop_area type="example">
Beweise mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition Gesetze aus Wikipedia]:<br />
:<math>( \neg A \wedge B ) \vee A \quad \equiv \quad ( B \vee A )</math>
<br />
<br />
Beweis:
=== Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten ===
:<math>\begin{alignat}{2}
<loop_area type="task">
& ( \neg A \wedge B ) \vee A && \text{jetzt Distributivgesetz anwenden} \\
Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:<br />
\equiv \qquad & ( \neg A \vee A) \wedge (B \vee A ) \qquad && \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden} \\
:<math>
\equiv \qquad &  1 \wedge (B \vee A ) && \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden} \\
( \neg A \land B ) \lor A \; \equiv \; ( B \lor A )
\equiv \qquad & ( B \vee A ) && \text{fertig}
</math>
\end{alignat}</math>
</loop_area>
</loop_area>


<br />
<br />
Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:


<loop_area type="task">
:<math>
Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:<br />
\begin{alignat}{2}
:<math>( \neg A \wedge B ) \vee A \quad \equiv \quad ( B \vee A )</math>
& ( \neg A \land B ) \lor A && \text{jetzt Distributivgesetz anwenden} \\
</loop_area>
\equiv \qquad & ( \neg A \lor A) \land (B \vee A ) \qquad && \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden} \\
<br />
\equiv \qquad &  1 \land (B \lor A ) && \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden} \\
Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:<br />
\equiv \qquad & ( B \lor A ) && \text{fertig}
 
\end{alignat}
<p>
</math>
<loop_media type="video" title="Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten" description="http://youtu.be/vcklrdE8sKs" copyright="CC-BY" index=true show_copyright=true>
{{#ev:youtube|vcklrdE8sKs|700}}
</loop_media>
</p>
 
<br />

Version vom 4. Oktober 2014, 11:07 Uhr

Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

Die Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln lässt sich auf zwei Arten zeigen:

  1. mit Hilfe einer Wahrheitstafel
  2. mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten


Beweisführung anhand einer Wahheitstafel

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:


Das folgende Video zeigt die Beweisführung:

YouTube

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten
http://youtu.be/vcklrdE8sKs
CC-BY


Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:


Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:

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