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Version vom 24. März 2015, 13:08 Uhr

Die Sache mit der Bindungsstärke

In dem gezeigten Lösungsweg wird an einer Stelle auf die Bindungsstärke hingewiesen.

Die Bindungsstärke der Junktoren ist vergleichbar mit der Bedeutung des allgemein bekannten mathematischen Grundsatzes: Punkt- vor Strichrechnung.

Wichtig

Punkt- vor Strichrechnung

Du erinnerst dich in Bezug auf Addition und Multiplikation an:

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + 2 * 3 + 4 \quad = \quad 1 + (2 * 3) + 4 \quad = \quad 1 + 6 + 4 \quad = \quad 11 }

Man kann hier sagen: Die Bindungsstärke der Multiplikation (*) ist größer als die Bindungsstärke der Addition (+). Aus diesem Grund muss die Multiplikation vor den beiden Additionen ausgeführt werden.
Die Klammern bei Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2 * 3)} können gesetzt werden, sie müssen aber nicht gesetzt werden.

Falls die Additionen vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen entsprechend andere Klammern gesetzt werden:

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1 + 2) * (3 + 4) \quad = \quad 3 * 7 \quad = \quad 21 }

Allerdings ist das Ergebnis dann auch ein Anderes! $(11\neq 21)$

Die Klammern bei $(1+2)$ sowie bei $(3+4)$ müssen in diesem Fall gesetzt sein, sie dürfen nicht entfallen.

Frage

Wie lautet das Ergebnis dieser Rechnung:

$(1+2)*3+4\quad =\quad ?$

Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik

Die Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ist nun wie folgt definiert:

Wichtig

$\neg$ bindet am stärksten, dahinter folgen $\land ,\lor ,\rightarrow$ und Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \leftrightarrow}

Analog zu Punkt- vor Strichrechnung lässt sich hier also festhalten:

Wichtig

Die Negation (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \neg} ) bindet stärker als das logische UND (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \land} ).
Das logische UND (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \land} ) bindet stärker als das logischen ODER (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lor} ).
Das logische ODER ( $\lor$ ) bindet stärker als die Implikation (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rightarrow} ).
Die Implikation (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rightarrow} ) bindet stärker als die Äquivalenz (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \leftrightarrow} ).

Hier noch einmal der Auszug aus dem gezeigten Lösungsweg, in dem auf die Beachtung der Bindungsstärke hingewiesen wird:

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{2} & (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm] \equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \\[.3cm] \end{alignat} }

Hinweis

In der unteren Zeile ist ein Klammerpaar hinzugekommen. Dieses Klammerpaar kann gesetzt werden, es muss aber nicht gesetzt werden.

Dieses folgt direkt aus dem Grundsatz:
Das logische UND (Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \land} ) bindet stärker als das logischen ODER ( $\lor$ ).

Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg freiwillig gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \neg Z \lor Z} zu Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} an dieser Stelle nicht erlaubt ist.

Aufgabe 1

Aufgabe

Aufg. : Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?

Oder anders gefragt:
Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \equiv} oder ein Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \not\equiv} ersetzt werden?

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{rrcl} \text{a)} \quad & \neg A \lor B & \quad ??? \quad & \neg (A \lor B) \\[.5cm] \text{b)} \quad & \neg A \lor B & \quad ??? \quad & (\neg A) \lor B \\[.5cm] \text{c)} \quad & \neg A \land B & \quad ??? \quad & \neg (A \land B) \\[.5cm] \text{d)} \quad & \neg A \land B & \quad ??? \quad & (\neg A) \land B \\[.5cm] \text{e)} \quad & A \lor B \land C & \quad ??? \quad & (A \lor B) \land C \\[.5cm] \text{f)} \quad & A \lor B \land C & \quad ??? \quad & A \lor (B \land C) \\[.5cm] \text{g)} \quad & A \lor B \land C & \quad ??? \quad & (A \lor B \land C) \\[.5cm] \text{h)} \quad & A \land B \lor C \land D & \quad ??? \quad & (A \land B) \lor (C \land D) \\[.5cm] \text{i)} \quad & A \land B \lor C \land D & \quad ??? \quad & A \land (B \lor C) \land D \\[.5cm] \text{j)} \quad & A \land B \land C \land D & \quad ??? \quad & A \land (B \land C) \land D \\[.5cm] \text{k)} \quad & A \lor B \rightarrow C & \quad ??? \quad & (A \lor B) \rightarrow C \\[.5cm] \text{l)} \quad & A \lor B \rightarrow C & \quad ??? \quad & A \lor (B \rightarrow C) \\[.5cm] \text{m)} \quad & A \land B \rightarrow C & \quad ??? \quad & A \land (B \rightarrow C) \\[.5cm] \text{n)} \quad & A \land B \rightarrow C & \quad ??? \quad & (A \land B) \rightarrow C \\[.5cm] \text{o)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C & \quad ??? \quad & (A \rightarrow B) \leftrightarrow C \\[.5cm] \text{p)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C & \quad ??? \quad & A \rightarrow (B \leftrightarrow C) \\[.5cm] \text{q)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D & \quad ??? \quad & A \rightarrow (B \leftrightarrow C) \rightarrow D \\[.5cm] \text{r)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D & \quad ??? \quad & ((A \rightarrow B) \leftrightarrow C) \rightarrow D \\[.5cm] \text{s)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D & \quad ??? \quad & (A \rightarrow B) \leftrightarrow (C \rightarrow D) \\[.5cm] \text{t)} \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D & \quad ??? \quad & A \rightarrow B \leftrightarrow (C \rightarrow D) \\[.5cm] \end{array} }

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 Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg ''freiwillig'' gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von &nbsp; &nbsp; <math>\neg Z \lor Z</math> &nbsp; &nbsp; zu &nbsp; &nbsp; <math>1</math> &nbsp; &nbsp; an dieser Stelle '''nicht erlaubt''' ist.
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 === Aufgabe 1 ===
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-<loop_area type="task">
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-Oder anders gefragt:<br />
-Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein &nbsp; <math>\equiv</math> &nbsp; oder ein &nbsp; <math>\not\equiv</math> &nbsp; ersetzt werden?
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-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad \neg (A \lor B)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad (\neg A) \lor B</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad \neg (A \land B)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad (\neg A) \land B</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B) \land C</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad A \lor (B \land C)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B \land C)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad (A \land B) \lor (C \land D)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad A \land (B \lor C) \land D</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \land C \land D \quad ??? \quad A \land (B \land C) \land D</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \lor B) \rightarrow C</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad A \lor (B \rightarrow C)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad A \land (B \rightarrow C)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \land B) \rightarrow C</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow C</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad ((A \rightarrow B) \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
-# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow B \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
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-=== Aufgabe 2 ===
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6.2.10.2.1 Die Sache mit der Bindungsstärke

Version vom 24. März 2015, 13:08 Uhr

Die Sache mit der Bindungsstärke

Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik

Aufgabe 1