Textaufgabe mittels aussagenlogischer Formeln vereinfachen

Textaufgabe mittels aussagenlogischer Formeln vereinfachen

Eine Aufgabe und ihr Lösungsweg:

Aufgabe

 Aufg.

Der etwas merkwürdige Wetterbericht für morgen lautet:

1. Wird es nicht kalt, so wird es auch weder windig sein noch regnen.
2. Überhaupt wird es nur dann Wind geben, wenn es kalt wird.
3. Wird es aber windstill, so wird es leider regnen und kalt sein.
4. Und bleibt es trocken, so wird es Wind geben oder es wird nicht kalt.

Was meinen Sie, wie wird das Wetter morgen, wenn diese Vorhersage zutrifft?

Der Lösungsweg

Das folgende Video zeigt den Lösungsweg:

video

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 Med. : Textaufgabe mittels aussagenlogischer Formeln vereinfachen

https://www.youtube.com/watch?v=Q0ronu0Y7y0

CC-BY

Schritt 1: Abkürzungen definieren

Aus den gegebenen vier Sätzen dieses Beispiels werden zunächst geeignete Abkürzungen gewonnen:

R   $\equiv$   Es wird regnen.

W   $\equiv$   Es wird windig.

K   $\equiv$   Es wird kalt.

Diese Abkürzungen stehen in der Folge für Aussagen im Sinne der Aussagenlogik. Es muss also (ggf. zu einem späteren Zeitpunkt) feststellbar sein, ob diese Aussagen objektiv wahr oder falsch sind.

Wichtig

Ein typischer Fehler an dieser Stelle ist die Definition von Abkürzungen, die keine Aussagen im Sinne der Aussagenlogik sind.

So ist es falsch, bitte nicht nachmachen:

Du wurdest gewarnt.

(Trotz dieser Warnung testen einzelne Studierende am Ende jeden Semesters in der jeweiligen Klausur, ob es Punktabzug gibt, wenn man es doch so macht. Es sei an dieser Stelle verraten: Ja, es gab in der Vergangenheit in diesem Fall immer einen Punktabzug, und diesen wird es auch in der Zukunft immer geben.
Das glaubst Du nicht? Dann gehöre doch in diesem Semester zu den Testern...)

Schritt 2: Alle gegebenen Sätze in aussagenlogische Formeln überführen

Wird es nicht kalt, so wird es auch weder windig sein noch regnen.

$(\neg K\rightarrow (\neg W\land \neg R))$

Überhaupt wird es nur dann Wind geben, wenn es kalt wird.

$(W\rightarrow K)$

Wichtig

Vorsicht, an dieser Stelle passieren gerne Fehler!
Schuld daran ist das kleine Wort "nur" in obigem Satz.

Wir betrachten hier beispielhaft zwei verschiedene Sätze mit ihrer aussagenlogischen Formel. Beide Sätze unterscheiden sich lediglich in dem Wort "nur". Aber wie man sieht, weist die aussagenlogische Formel einen signifikanten Unterschied auf:

1. Wenn es kalt wird, dann wird es Wind geben.     $(K\rightarrow W)$
   
   
2. Wenn es kalt wird, nur dann wird es Wind geben.     $(W\rightarrow K)$

Weitere Erklärungen dazu finden sich auch im Video ab Minute 03:23.

Woran man die Implikation erkennt

Hinweis

Ganz allgemein gilt:
Auf die Implikation   $A\rightarrow B$   weisen typische Formulierungen im Sprachgebrauch hin:

• Wenn A, dann B.
• Immer wenn A, dann B.
• Immer B, wenn A.
• B immer dann, wenn A.

Bis hier enthalten die Formulierungen noch kein "nur".
Das   $A$   steht immer zusammen mit dem "wenn", und das   $B$   steht immer zusammen mit dem "dann".

Jetzt kommt das "nur" ins Spiel.
Ab sofort steht das   $B$   immer zusammen mit dem "nur wenn", bzw. das   $A$   steht immer zusammen mit dem "nur dann". Die daraus resultierende Formel bleibt unverändert bei   $A\rightarrow B$.

• Nur wenn B, dann A.
• A nur dann, wenn B.
• Wenn B, nur dann A.

Weiter mit Schritt 2:

Wird es aber windstill, so wird es leider regnen und kalt sein.

$(\neg W\rightarrow (R\land K))$

Und bleibt es trocken, so wird es Wind geben oder es wird nicht kalt.

$(\neg R\rightarrow (W\lor K))$

Schritt 3: Alle Formeln in eine UND-verknüpfte Gesamtformel integrieren

$(\neg K\rightarrow (\neg W\land \neg R))\;\land \;(W\rightarrow K)\;\land \;(\neg W\rightarrow (R\land K))\;\land \;(\neg R\rightarrow (W\lor K))$

Hinweis

Bei diesem Schritt ist es wichtig, die Klammern um die in Schritt 2 ermittelten Teilformeln zu setzen (bzw. zu erhalten, denn sie sind oben ja bereits vorhanden). Andernfalls wird das logische UND zwischen den Teilformeln mit seiner Bindungsstärke für ein falsches Ergebnis sorgen.

Schritt 4: Gesamtformel auf möglichst einfache Gestalt bringen

$(\neg K\rightarrow (\neg W\land \neg R))\;\land \;(W\rightarrow K)\;\land \;(\neg W\rightarrow (R\land K))\;\land \;(\neg R\rightarrow (W\lor K))$

$\equiv \quad ...$

$\equiv \quad K\land (W\lor R)$

Siehe:
Vereinfachung mit Hilfe einer Wahrheitstafel oder
Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten

Schritt 5: Antwortsatz notieren

Das bisherige Ergebnis   $K\land (W\lor R)$   muss im letzten Schritt in einen Satz überführt werden, damit die anfangs gestellte Frage auch adäquat beantwortet wird.

Was meinen Sie, wie wird das Wetter morgen, wenn diese Vorhersage zutrifft?

Es wird morgen auf jeden Fall kalt und dazu noch windig sein oder regnen (oder beides).