Regel von Sarrus

Regel von Sarrus

Mit Hilfe der Regel von Sarrus kann der Wert einer Determinante dritter Ordnung sehr leicht berechnet werden.

Aufgabe 1

Aufgabe

 Aufg. 54

Mache dich mit der Regel von Sarrus vertraut! Erarbeite insbesondere, wie mit Hilfe dieser Regel der Wert einer Determinate dritter Ordnung berechnet wird.

Folgende Quellen erläutern die Regel von Sarrus:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
• http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//determinanten/22k1s6.htm
• https://www.youtube.com/watch?v=0zgWcErYTT0
• https://www.youtube.com/watch?v=a_iwXNHhXa0

Beispiel 1

Der Wert der folgenden Determinante wird mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnet:

${\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &(-2)\cdot (-6)\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot (-4)\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot (-6)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot (-4)\cdot (-2)\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &(-96)\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &(-48)\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ -96\\[.2cm]\end{aligned}}$

Hinweis

Eine große Fehlerquelle sind erfahrungsgemäß immer die Minuszeichen. Hier ist unbedingt darauf zu achten, dass das Vorzeichen des (Teil-) Ergebnisses korrekt bestimmt wird!

Beispiel 2

Für welchen Wert von $x$ beträgt der Wert der Determinate D Null?

${\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&1&x\\3&3&1\\-1&-2&-1\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

Lösung:

${\begin{aligned}\quad &0&=\ {\begin{vmatrix}1&1&x\\3&3&1\\-1&-2&-1\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\Leftrightarrow \quad &0&=\ \quad 1\cdot 3\cdot (-1)\quad +\quad 1\cdot 1\cdot (-1)\quad +\quad x\cdot 3\cdot (-2)\\[.2cm]\quad &&\quad \ \quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot x\quad -\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot 1\\[.2cm]\Leftrightarrow \quad &x&=\ -1\end{aligned}}$

Aufgabe 2

Aufgabe

 Aufg. 55: Berechne den Wert der Determinate!

${\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}$

Lösung${\begin{aligned}&=&\ &(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot (-2)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot 1\cdot (-2)\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad )\\[.8cm]&=&\ &(-8)\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}$

Aufgabe 3

Aufgabe

 Aufg. 56: Berechne den Wert der Determinate!

${\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}$

Lösung${\begin{aligned}&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &2\cdot 6\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot 4\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot 6\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot 4\cdot 2\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &96\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &48\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}$

Aufgabe 4

Aufgabe

 Aufg. 57: Berechne den Wert der Determinate!

${\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&4\\2&4&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}$

Lösung${\begin{aligned}D=0\end{aligned}}$

Aufgabe 5

Aufgabe

 Aufg. 58: Berechne die Unbekannte!

Für welchen Wert von $x$ beträgt der Wert der Determinate Null?

${\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&x&-2\\2&2&2\\2&0&4\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}$

Lösung${\begin{aligned}x=4\end{aligned}}$

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