Version vom 5. Oktober 2014, 21:17 Uhr

Die Sache mit der Bindungsstärke

In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen.

Die Bindungsstärke der Junktoren ist vergleichbar mit der Bedeutung des allgemein bekannten mathematischen Grundsatzes: Punkt- vor Strichrechnung.

Wichtig

Punkt- vor Strichrechnung

Du erinnerst dich in Bezug auf Addition und Multiplikation an:

$1 + 2 * 3 + 4 = 1 + (2 * 3) + 4 = 1 + 6 + 4 = 11$

Man kann hier sagen: Die Bindungsstärke der Multiplikation (*) ist größer als die Bindungsstärke der Addition (+). Aus diesem Grund muss die Multiplikation vor den beiden Additionen ausgeführt werden.
Die Klammern bei $(2 * 3)$ können gesetzt werden, sie müssen aber nicht gesetzt werden.

Falls die Addition vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen entsprechend andere Klammern gesetzt werden:

$(1 + 2) * (3 + 4) = 3 * 7 = 21$

Allerdings ist das Ergebnis dann auch ein Anderes.
Die Klammern bei $(1 + 2)$ sowie bei $(3 + 4)$ müssen in diesem Fall gesetzt sein, sie dürfen nicht entfallen.

Frage

Wie lautet das Ergebnis dieser Rechnung:

$(1 + 2) * 3 + 4 = ?$

Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik

Die Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ist nun wie folgt definiert:

$\neg$ bindet am stärksten, dahinter folgen $\land, \lor, \to$ und $\leftrightarrow$ .

Analog zu Punkt- vor Strichrechnung lässt sich hier also festhalten:

Die Negation ( $\neg$ ) bindet stärker als das logische UND ( $\land$ ).
Das logische UND ( $\land$ ) bindet stärker als das logischen ODER ( $\lor$ ).
Das logische ODER ( $\lor$ ) bindet stärker als die Implikation ( $\to$ ).
Die Implikation ( $\to$ ) bindet stärker als die Äquivalenz ( $\leftrightarrow$ ).

Hier noch einmal der Auszug aus dem obigen Lösungsweg, in dem auf die Beachtung der Bindungsstärke hingewiesen wird:

$\begin{aligned} (\neg X \lor Y) \land Y \land \neg Z \lor Z & [Bindungsstärke beachten!] \\ \equiv & ((\neg X \lor Y) \land Y \land \neg Z) \lor Z \end{aligned}$

Hinweis

In der unteren Zeile ist ein Klammerpaar hinzugekommen. Dieses Klammerpaar kann gesetzt werden, es muss aber nicht gesetzt werden.

Dieses folgt direkt aus dem Grundsatz:
Das logische UND ( $\land$ ) bindet stärker als das logischen ODER ( $\lor$ ).

Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg freiwillig gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von $\neg Z \lor Z$ zu $1$ an dieser Stelle nicht erlaubt ist.

Testfragen

Frage

Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?
Oder anders gefragt:
Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein $\equiv$ oder ein $\equiv̸$ ersetzt werden?

$\neg A \lor B ? ? ? \neg (A \lor B)$
$\neg A \lor B ? ? ? (\neg A) \lor B$
$\neg A \land B ? ? ? \neg (A \land B)$
$\neg A \land B ? ? ? (\neg A) \land B$
$A \lor B \land C ? ? ? (A \lor B) \land C$
$A \lor B \land C ? ? ? A \lor (B \land C)$
$A \lor B \land C ? ? ? (A \lor B \land C)$
$A \land B \lor C \land D ? ? ? (A \land B) \lor (C \land D)$
$A \land B \lor C \land D ? ? ? A \land (B \lor C) \land D$
$A \land B \land C \land D ? ? ? A \land (B \land C) \land D$
$A \lor B \to C ? ? ? (A \lor B) \to C$
$A \lor B \to C ? ? ? A \lor (B \to C)$
$A \land B \to C ? ? ? A \land (B \to C)$
$A \land B \to C ? ? ? (A \land B) \to C$
$A \to B \leftrightarrow C ? ? ? (A \to B) \leftrightarrow C$
$A \to B \leftrightarrow C ? ? ? A \to (B \leftrightarrow C)$
$A \to B \leftrightarrow C \to D ? ? ? A \to (B \leftrightarrow C) \to D$
$A \to B \leftrightarrow C \to D ? ? ? ((A \to B) \leftrightarrow C) \to D$
$A \to B \leftrightarrow C \to D ? ? ? (A \to B) \leftrightarrow (C \to D)$
$A \to B \leftrightarrow C \to D ? ? ? A \to B \leftrightarrow (C \to D)$

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 =Die Sache mit der Bindungsstärke=
+In dem gezeigten Lösungsweg wird einmal auf die Bindungsstärke hingewiesen.
+Die Bindungsstärke der Junktoren ist vergleichbar mit der Bedeutung des allgemein bekannten mathematischen Grundsatzes: ''Punkt- vor Strichrechnung''.
+<loop_area type="important">
+'''Punkt- vor Strichrechnung'''
+<p>
+Du erinnerst dich in Bezug auf Addition und Multiplikation an:
+</p>
+<p>
+<math>
++ 2 * 3 + 4 \quad = \quad 1 + (2 * 3) + 4 \quad = \quad 1 + 6 + 4 \quad = \quad 11
+</math>
+</p>
+<p>
+Man kann hier sagen: Die Bindungsstärke der Multiplikation (*) ist größer als die Bindungsstärke der Addition (+). Aus diesem Grund muss die Multiplikation vor den beiden Additionen ausgeführt werden.<br />
+Die Klammern bei &nbsp; <math>(2 * 3)</math> &nbsp; '''können''' gesetzt werden, sie '''müssen aber nicht''' gesetzt werden.
+</p>
+<p>
+Falls die Addition vor der Multiplikation ausgeführt werden soll, müssen entsprechend andere Klammern gesetzt werden:
+</p>
+<p>
+<math>
+(1 + 2) * (3 + 4) \quad = \quad 3 * 7 \quad = \quad 21
+</math>
+</p>
+<p>
+Allerdings ist das Ergebnis dann auch ein Anderes.<br />
+Die Klammern bei &nbsp; <math>(1 + 2)</math> &nbsp; sowie bei &nbsp; <math>(3 + 4)</math> &nbsp; '''müssen''' in diesem Fall gesetzt sein, sie '''dürfen nicht entfallen'''.
+</p>
+</loop_area>
+<br />
+<loop_area type="question">
+<p>
+Wie lautet das Ergebnis dieser Rechnung:
+</p>
+<p>
+<math>
+(1 + 2) * 3 + 4 \quad = \quad ?
+</math>
+</p>
+</loop_area>
+<br />
+==== Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ====
+<p>
+Die Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik ist nun wie folgt definiert:
+</p>
+<p>
+<math>\neg</math> bindet am stärksten, dahinter folgen <math>\land, \lor, \rightarrow</math> und <math>\leftrightarrow</math>.
+</p>
+<p>
+Analog zu ''Punkt- vor Strichrechnung'' lässt sich hier also festhalten:
+</p>
+<p>
+* Die Negation (<math>\neg</math>) bindet stärker als das logische UND (<math>\land</math>).
+* Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
+* Das logische ODER (<math>\lor</math>) bindet stärker als die Implikation (<math>\rightarrow</math>).
+* Die Implikation (<math>\rightarrow</math>) bindet stärker als die Äquivalenz (<math>\leftrightarrow</math>).
+</p>
+<br />
+<p>
+Hier noch einmal der Auszug aus dem obigen Lösungsweg, in dem auf die Beachtung der Bindungsstärke hingewiesen wird:
+</p>
+<p>
+<math>
+\begin{alignat}{2}
+& (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z \lor Z & \qquad [\text{Bindungsstärke beachten!}] \\[.3cm]
+\equiv \quad & (\ (\ \neg X \lor Y ) \land Y \land \neg Z ) \lor Z & \\[.3cm]
+\end{alignat}
+</math>
+</p>
+<br />
+<loop_area type="notice">
+<p>
+In der unteren Zeile ist ein Klammerpaar hinzugekommen. Dieses Klammerpaar '''kann''' gesetzt werden, es '''muss aber nicht''' gesetzt werden.
+</p>
+<p>
+Dieses folgt direkt aus dem Grundsatz:<br />
+Das logische UND (<math>\land</math>) bindet stärker als das logischen ODER (<math>\lor</math>).
+</p>
+</loop_area>
+<p>
+Das Klammerpaar ist in dem aufgezeigten Lösungsweg ''freiwillig'' gesetzt worden, um deutlich zu machen, dass eine Vereinfachung von &nbsp; &nbsp; <math>\neg Z \lor Z</math> &nbsp; &nbsp; zu &nbsp; &nbsp; <math>1</math> &nbsp; &nbsp; an dieser Stelle '''nicht erlaubt''' ist.
+</p>
+<br />
+==== Testfragen ====
+<loop_area type="question">
+<p>
+Gilt hier die Äquivalenz oder sind beide Formeln nicht logisch äquivalent?<br />
+Oder anders gefragt:<br />
+Müssen die drei Fragezeichen (???) durch ein <math>\equiv</math> oder ein <math>\not\equiv</math> ersetzt werden?
+</p>
+<br />
+<p>
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad \neg (A \lor B)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \lor B \quad ??? \quad (\neg A) \lor B</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad \neg (A \land B)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\neg A \land B \quad ??? \quad (\neg A) \land B</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B) \land C</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad A \lor (B \land C)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \land C \quad ??? \quad (A \lor B \land C)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad (A \land B) \lor (C \land D)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \lor C \land D \quad ??? \quad A \land (B \lor C) \land D</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \land C \land D \quad ??? \quad A \land (B \land C) \land D</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \lor B) \rightarrow C</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \lor B \rightarrow C \quad ??? \quad A \lor (B \rightarrow C)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad A \land (B \rightarrow C)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \land B \rightarrow C \quad ??? \quad (A \land B) \rightarrow C</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow C</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow (B \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad ((A \rightarrow B) \leftrightarrow C) \rightarrow D</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad (A \rightarrow B) \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
+# &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>A \rightarrow B \leftrightarrow C \rightarrow D \quad ??? \quad A \rightarrow B \leftrightarrow (C \rightarrow D)</math><br /><br />
+</p>
+<p>
+Notiere zu jeder Zeile deine Antwort. Vergleiche dann alle Antworten mit den Antworten der anderen Studierenden in deiner Lerngruppe!
+</p>
+</loop_area>

6.2.10.2.1 Die Sache mit der Bindungsstärke

Version vom 5. Oktober 2014, 21:17 Uhr

Die Sache mit der Bindungsstärke

Bindungsstärke der Junktoren in der Aussagenlogik

Testfragen