Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Eine Aufgabe und deren Lösung:

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:
(Die genannten Gesetze sind im Abschnitt Logische Identitäten zu finden.)

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\land B)\lor A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(\neg A\lor A)\land (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &1\land (B\lor A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(B\lor A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\neg A\land B)\lor A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\lor A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Jetzt bis du dran:

Aufgabe 1

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Aufgabe 2

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\lor B)\land A\;\equiv \;(B\land A)$

Aufgabe 3

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ( A \land B ) \lor (A \land \neg B) \; & \equiv \; A }

Aufgabe 4

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle ( A \lor B ) \land (A \lor \neg B) \; & \equiv \; A }