Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Eine Aufgabe und deren Lösung:

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:
(Die genannten Gesetze sind im Abschnitt Logische Identitäten zu finden.)

$\begin{array}{rlrl}& (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& & \text{jetzt Distributivgesetz anwenden}\\ \equiv & (\mathrm{\neg }A\vee A)\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}\\ \equiv & 1\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}\\ \equiv & (B\vee A)& & \text{fertig}\end{array}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\vee A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Hinweis

Falls du hier noch nicht verstanden hast, wie genau die Anwendung der genannten Gesetze funktioniert:

Im später folgenden Abschnitt Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten gibt es ein Video, in dem u.a. die Anwendung der Gesetze mehrfach gezeigt wird.

Jetzt bis du dran:

Aufgabe 1

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Aufgabe 2

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\mathrm{\neg }A\vee B)\wedge A\equiv (B\wedge A)$

Aufgabe 3

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(A\wedge B)\vee (A\wedge \mathrm{\neg }B)\equiv A$

Aufgabe 4

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(A\vee B)\wedge (A\vee \mathrm{\neg }B)\equiv A$