6.2.9.2 Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Eine Aufgabe und deren Lösung:

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:
(Die genannten Gesetze sind im Abschnitt Logische Identitäten zu finden.)

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\land B)\lor A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(\neg A\lor A)\land (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &1\land (B\lor A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(B\lor A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\neg A\land B)\lor A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\lor A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Hinweis

Falls du hier noch nicht verstanden hast, wie genau die Anwendung der genannten Gesetze funktioniert:

Im später folgenden Abschnitt Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten gibt es ein Video, in dem u.a. die Anwendung der Gesetze mehrfach gezeigt wird.

Noch ein Beispiel

In einem weiteren Video zeigt Prof. Christian Spannagel von der Pädagogischen Hochschule Heidelberg einen aussagenlogischen Beweis für

$A\land (A\rightarrow B)\quad \equiv \quad \neg (A\rightarrow \neg B)$

video

YouTube

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 Med. 31: Aussagenlogischer Beweis

Prof. Christian Spannagel, PH Heidelberg, http://youtu.be/0RMPRYq-gVM

CC-BY

Jetzt bis du dran:

Aufgabe 1

Aufgabe

 Aufg. 26: Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Aufgabe 2

Aufgabe

 Aufg. 27: Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(\neg A\lor B)\land A\;\equiv \;(B\land A)$

Aufgabe 3

Aufgabe

 Aufg. 28: Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(A\land B)\lor (A\land \neg B)\;\equiv \;A$

Aufgabe 4

Aufgabe

 Aufg. 29: Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(A\lor B)\land (A\lor \neg B)\;\equiv \;A$