Regel von Sarrus
Mit Hilfe der Regel von Sarrus kann der Wert einer Determinante dritter Ordnung sehr leicht berechnet werden.
Aufgabe 1
Aufgabe
Mache dich mit der Regel von Sarrus vertraut! Erarbeite insbesondere, wie mit Hilfe dieser Regel der Wert einer Determinate dritter Ordnung berechnet wird.
Folgende Quellen erläutern die Regel von Sarrus :
Beispiel 1
Der Wert der folgenden Determinante wird mit Hilfe der Regel von Sarrus berechnet:
D
=
|
1
−
2
3
−
4
5
−
6
7
8
9
|
=
1
⋅
5
⋅
9
+
(
−
2
)
⋅
(
−
6
)
⋅
7
+
3
⋅
(
−
4
)
⋅
8
−
(
7
⋅
5
⋅
3
)
−
(
8
⋅
(
−
6
)
⋅
1
)
−
(
9
⋅
(
−
4
)
⋅
(
−
2
)
)
=
45
+
84
+
(
−
96
)
−
105
−
(
−
48
)
−
72
=
−
96
{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &(-2)\cdot (-6)\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot (-4)\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot (-6)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot (-4)\cdot (-2)\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &(-96)\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &(-48)\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ -96\\[.2cm]\end{aligned}}}
Hinweis
Eine große Fehlerquelle sind erfahrungsgemäß immer die Minuszeichen. Hier ist unbedingt darauf zu achten, dass das Vorzeichen des (Teil-) Ergebnisses korrekt bestimmt wird!
Beispiel 2
Für welchen Wert von
x
{\displaystyle x}
D
=
|
1
1
x
3
3
1
−
1
−
2
−
1
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&1&x\\3&3&1\\-1&-2&-1\\\end{vmatrix}}\end{aligned}}}
Lösung:
0
=
|
1
1
x
3
3
1
−
1
−
2
−
1
|
⇔
0
=
1
⋅
3
⋅
(
−
1
)
+
1
⋅
1
⋅
(
−
1
)
+
x
⋅
3
⋅
(
−
2
)
−
(
−
1
)
⋅
3
⋅
x
−
(
−
2
)
⋅
1
⋅
1
−
(
−
1
)
⋅
3
⋅
1
⇔
x
=
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\quad &0&=\ {\begin{vmatrix}1&1&x\\3&3&1\\-1&-2&-1\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\Leftrightarrow \quad &0&=\ \quad 1\cdot 3\cdot (-1)\quad +\quad 1\cdot 1\cdot (-1)\quad +\quad x\cdot 3\cdot (-2)\\[.2cm]\quad &&\quad \ \quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot x\quad -\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot 1\\[.2cm]\Leftrightarrow \quad &x&=\ -1\end{aligned}}}
Aufgabe 2
Aufgabe
D
=
|
−
2
1
1
1
−
2
1
1
1
−
2
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
=
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
⋅
(
−
2
)
+
1
⋅
1
⋅
1
+
1
⋅
1
⋅
1
−
(
1
⋅
(
−
2
)
⋅
1
)
−
(
1
⋅
1
⋅
(
−
2
)
)
−
(
(
−
2
)
⋅
1
⋅
1
)
=
(
−
8
)
+
1
+
1
−
(
−
2
)
−
(
−
2
)
−
(
−
2
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&=&\ &(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&+\quad &1\cdot 1\cdot 1\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot (-2)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 1\cdot 1\cdot (-2)\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad )\\[.8cm]&=&\ &(-8)\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&+\quad &1\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.2cm]&&-\quad &(-2)\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}}
Aufgabe 3
Aufgabe
D
=
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
=
1
⋅
5
⋅
9
+
2
⋅
6
⋅
7
+
3
⋅
4
⋅
8
−
(
7
⋅
5
⋅
3
)
−
(
8
⋅
6
⋅
1
)
−
(
9
⋅
4
⋅
2
)
=
45
+
84
+
96
−
105
−
48
−
72
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &2\cdot 6\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot 4\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot 6\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot 4\cdot 2\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &96\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &48\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ 0\\[.2cm]\end{aligned}}}
Aufgabe 4
Aufgabe
D
=
|
2
2
1
2
0
4
2
4
−
2
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&4\\2&4&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
D
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}D=0\end{aligned}}}
Aufgabe 5
Aufgabe
Für welchen Wert von
x
{\displaystyle x}
D
=
|
1
x
−
2
2
2
2
2
0
4
|
{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&x&-2\\2&2&2\\2&0&4\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}
Lösung
x
=
4
{\displaystyle {\begin{aligned}x=4\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}D&=&\ &\ {\begin{vmatrix}1&-2&3\\-4&5&-6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]&=&\ &1\cdot 5\cdot 9\\[.2cm]&&+\quad &(-2)\cdot (-6)\cdot 7\\[.2cm]&&+\quad &3\cdot (-4)\cdot 8\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 7\cdot 5\cdot 3\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 8\cdot (-6)\cdot 1\quad )\\[.2cm]&&-\quad &(\quad 9\cdot (-4)\cdot (-2)\quad )\\[.8cm]&=&\ &45\\[.2cm]&&+\quad &84\\[.2cm]&&+\quad &(-96)\\[.2cm]&&-\quad &105\\[.2cm]&&-\quad &(-48)\\[.2cm]&&-\quad &72\\[.8cm]&=&\ -96\\[.2cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29f18069d58a6634dc3904f629750df9974a61ca)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\quad &0&=\ {\begin{vmatrix}1&1&x\\3&3&1\\-1&-2&-1\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\Leftrightarrow \quad &0&=\ \quad 1\cdot 3\cdot (-1)\quad +\quad 1\cdot 1\cdot (-1)\quad +\quad x\cdot 3\cdot (-2)\\[.2cm]\quad &&\quad \ \quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot x\quad -\quad (-2)\cdot 1\cdot 1\quad -\quad (-1)\cdot 3\cdot 1\\[.2cm]\Leftrightarrow \quad &x&=\ -1\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ccd48da6d75e3a0d552b8cd312cb166f05e545)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88efe155b82cd6656989d718a1b79238f86ebb3a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/492b1f52823d3952405468bd81cdce7bfe9561fc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}2&2&1\\2&0&4\\2&4&-2\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2762a7c942a65cb9be0db450d8ed6f07eb8f347b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D={\begin{vmatrix}1&x&-2\\2&2&2\\2&0&4\\\end{vmatrix}}\\[.8cm]\end{aligned}}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9a6cbea670837f167c7ac383c835f1bfdf45a9)