6.2.10 Aussagenlogische Formeln vereinfachen

Aussagenlogische Formeln vereinfachen

${\begin{alignedat}{2}&((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z))\rightarrow Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg ((X\rightarrow Y)\rightarrow (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\neg (X\rightarrow Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\neg (\neg X\lor Y)\lor (Y\rightarrow Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{Implikation umformen}}]\\\equiv \quad &\neg (\ \neg (\neg X\lor Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &\neg (\ (X\land \neg Y)\lor (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &\neg (\ X\land \neg Y)\land \neg (\neg Y\lor Z)\ )\lor Z&\qquad [{\text{De Morgansches Gesetz}}]\\\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land (Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Klammern auflösen}}]\\\equiv \quad &(\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z\lor Z&\qquad [{\text{Bindungsstärke beachten!}}]\\\equiv \quad &(\ (\ \neg X\lor Y)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ (\ Y\lor \neg X)\land Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Kommutativgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\land (\ Y\lor \neg X)\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Absorptionsgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\land \neg Z)\lor Z&\qquad [{\text{Distributivgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land (\neg Z\lor Z)&\qquad [{\text{Komplementärgesetz}}]\\\equiv \quad &(\ Y\lor Z)\land 1&\qquad [{\text{Neutralitätsgesetz}}]\\\equiv \quad &Y\lor Z&\qquad [{\text{Fertig}}]\\\end{alignedat}}$