6.2.8 Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Beweis:

$\begin{array}{rlrl}& (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& & \text{jetzt Distributivgesetz anwenden}\\ \equiv & (\mathrm{\neg }A\vee A)\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}\\ \equiv & 1\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}\\ \equiv & (B\vee A)& & \text{fertig}\end{array}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

$\mathrm{\neg }0=1/qquad/qquad\mathrm{\neg }1=0$

= Doppelnegationsgesetz

$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }a)=a$

Neutralitätsgesetze

$a\wedge 1=a/qquad/qquada\vee 0=a$

Extremalgesetze

$a\wedge 0=0/qquad/qquada\vee 1=1$

Kommutativgesetze

$a\wedge b=b\wedge a/qquad/qquada\vee b=b\vee a$

Assoziativgesetze

$(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)/qquad/qquad(a\vee b)\vee c=a\vee (b\vee c)$

Idempotenzgesetze

$a\wedge a=a/qquad/qquada\vee a=a$

Distributivgesetze

$a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)/qquad/qquada\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c)$

De Morgansche Gesetze

$\mathrm{\neg }(a\wedge b)=\mathrm{\neg }a\vee \mathrm{\neg }b/qquad/qquad\mathrm{\neg }(a\vee b)=\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b$

Komplementärgesetze

$a\wedge \mathrm{\neg }a=0/qquad/qquada\vee \mathrm{\neg }a=1$

Absorptionsgesetze

$a\vee (a\wedge b)=a/qquad/qquada\wedge (a\vee b)=a$