6.2.8 Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Beweis:

$\begin{array}{rlrl}& (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& & \text{jetzt Distributivgesetz anwenden}\\ \equiv & (\mathrm{\neg }A\vee A)\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}\\ \equiv & 1\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}\\ \equiv & (B\vee A)& & \text{fertig}\end{array}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Dualitätsgesetze

$\mathrm{\neg }0\equiv 1\mathrm{\neg }1\equiv 0$

Doppelnegationsgesetz

$\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)\equiv \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\equiv A$

Neutralitätsgesetze

$A\wedge 1\equiv AA\vee 0\equiv A$

Extremalgesetze

$A\wedge 0\equiv 0A\vee 1\equiv 1$

Kommutativgesetze

$A\wedge B\equiv B\wedge AA\vee B\equiv B\vee A$

Assoziativgesetze

$(A\wedge B)\wedge C\equiv A\wedge (B\wedge C)(A\vee B)\vee C\equiv A\vee (B\vee C)$

Idempotenzgesetze

$A\wedge A\equiv AA\vee A\equiv A$

Distributivgesetze

$A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)$

De Morgansche Gesetze

$\mathrm{\neg }(A\wedge B)\equiv \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B\mathrm{\neg }(A\vee B)\equiv \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B$

Komplementärgesetze

$A\wedge negA\equiv 0A\vee \mathrm{\neg }A\equiv 1$

Absorptionsgesetze

$A\vee (A\wedge B)\equiv AA\wedge (A\vee B)\equiv A$