6.2.8 Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Beweis:

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\wedge B)\vee A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(\neg A\vee A)\wedge (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &1\wedge (B\vee A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \qquad &(B\vee A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\neg A\wedge B)\vee A\quad \equiv \quad (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Gesetze

Dualitätsgesetze

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \neg 0 \; \equiv \; 1 \\ \neg 1 \; \equiv \; 0 }

Doppelnegationsgesetz

$\neg (\neg A)\;\equiv \;\neg \neg A\;\equiv \;A$

Neutralitätsgesetze

Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \land 1 \; \equiv \; A \\ A \lor 0 \; \equiv \; A }

Extremalgesetze

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle A \land 0 \; \equiv \; 0 \\ A \lor 1 \; \equiv \; 1 }

Kommutativgesetze

$A\land B\;\equiv \;B\land A\qquad \qquad A\lor B\;\equiv \;B\lor A$

Assoziativgesetze

$(A\land B)\land C\;\equiv \;A\land (B\land C)\qquad \qquad (A\lor B)\lor C\;\equiv \;A\lor (B\lor C)$

Idempotenzgesetze

$A\land A\;\equiv \;A\qquad \qquad A\lor A\;\equiv \;A$

Distributivgesetze

$A\land (B\lor C)\;\equiv \;(A\land B)\lor (A\land C)\qquad \qquad A\lor (B\land C)\;\equiv \;(A\lor B)\land (A\lor C)$

De Morgansche Gesetze

$\neg (A\land B)\;\equiv \;\neg A\lor \neg B\qquad \qquad \neg (A\lor B)\;\equiv \;\neg A\land \neg B$

Komplementärgesetze

$A\land \neg A\;\equiv \;0\qquad \qquad A\lor \neg A\;\equiv \;1$

Absorptionsgesetze

$A\lor (A\land B)\;\equiv \;A\qquad \qquad A\land (A\lor B)\;\equiv \;A$