6.2.8 Logische Identitäten

Logische Identitäten

Unter logischen Identitäten versteht man die im folgenden Wikipedia-Artikel definierten Gesetze (1 bis 11 und 1' bis 11'):
http://de.wikipedia.org/wiki/Boolesche_Algebra#Definition

Sie finden sich in unseren offiziellen Lernmaterialien wieder in Lerneinheit 5 (Gesetze der Aussagenlogik) und hier in Kapitel 1.2 (Logische Identitäten) sowie Kapitel 1.3 (Anwendungen logischer Identitäten).

Beispiel

Beweise mit Hilfe der Gesetze aus Wikipedia:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Beweis:

$\begin{array}{rlrl}& (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& & \text{jetzt Distributivgesetz anwenden}\\ \equiv & (\mathrm{\neg }A\vee A)\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}\\ \equiv & 1\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}\\ \equiv & (B\vee A)& & \text{fertig}\end{array}$

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Ein Beispiel eines Beweises mit Hilfe einer Wahrheitstafel findet sich hier:

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Gesetze

Dualitätsgesetze

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }0\equiv 1\\ \mathrm{\neg }1\equiv 0\end{array}$

Doppelnegationsgesetz

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }A)\equiv \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\equiv A\end{array}$

Neutralitätsgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge 1\equiv A\\ A\vee 0\equiv A\end{array}$

Extremalgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge 0\equiv 0\\ A\vee 1\equiv 1\end{array}$

Kommutativgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge B\equiv B\wedge A\\ A\vee B\equiv B\vee A\end{array}$

Assoziativgesetze

$\begin{array}{r}(A\wedge B)\wedge C\equiv A\wedge (B\wedge C)\\ (A\vee B)\vee C\equiv A\vee (B\vee C)\end{array}$

Idempotenzgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge A\equiv A\\ A\vee A\equiv A\end{array}$

Distributivgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)\\ A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)\end{array}$

De Morgansche Gesetze

$\begin{array}{r}\mathrm{\neg }(A\wedge B)\equiv \mathrm{\neg }A\vee \mathrm{\neg }B\\ \mathrm{\neg }(A\vee B)\equiv \mathrm{\neg }A\wedge \mathrm{\neg }B\end{array}$

Komplementärgesetze

$\begin{array}{r}A\wedge \mathrm{\neg }A\equiv 0\\ A\vee \mathrm{\neg }A\equiv 1\end{array}$

Absorptionsgesetze

$\begin{array}{r}A\vee (A\wedge B)\equiv A\\ A\wedge (A\vee B)\equiv A\end{array}$

Weitere logische Identitäten

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\rightarraow“): {\displaystyle \begin{align} (A \rightarrow B) \; \equiv \; (\neg A \lor B) \\[.2cm] (A \rightarrow B) \; \equiv \; (\neg B \rightarraow \neg A) \end{align} }