6.2.9 Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

Die Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln lässt sich auf zwei Arten zeigen:

1. mit Hilfe einer Wahrheitstafel
2. mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten

Beweisführung anhand einer Wahheitstafel

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(A\leftrightarrow B)\;\equiv \;(A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)$

Das folgende Video zeigt die Beweisführung:

YouTube

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\land B)\lor A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(\neg A\lor A)\land (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &1\land (B\lor A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(B\lor A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\neg A\land B)\lor A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\lor A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Aufgabe

Du sollst hier beide Wege gehen:

• Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel!
• Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(\neg A\lor B)\land A\;\equiv \;(B\land A)$