6.2.9 Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

Beweis der logischen Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln

Die Äquivalenz zweier aussagenlogischer Formeln lässt sich auf zwei Arten zeigen:

1. mit Hilfe einer Wahrheitstafel
2. mit Hilfe von Umformungen anhand der logischen Identitäten

Beweisführung anhand einer Wahheitstafel

Aufgabe

Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel:

$(A\leftrightarrow B)\equiv (A\to B)\wedge (B\to A)$

Das folgende Video zeigt die Beweisführung:

YouTube

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 Med. : Beweis der Äquivalenz bei logischen Identitäten

http://youtu.be/vcklrdE8sKs

CC-BY

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A\equiv (B\vee A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:

$\begin{array}{rlrl}& (\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A& & \text{jetzt Distributivgesetz anwenden}\\ \equiv & (\mathrm{\neg }A\vee A)\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}\\ \equiv & 1\wedge (B\vee A)& & \text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}\\ \equiv & (B\vee A)& & \text{fertig}\end{array}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\mathrm{\neg }A\wedge B)\vee A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\vee A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Aufgabe 1

Aufgabe

Du sollst hier beide Wege gehen:

• Beweise mit Hilfe einer Wahrheitstafel!
• Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten!

$(\mathrm{\neg }A\vee B)\wedge A\equiv (B\wedge A)$