6.2.9.2 Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Beweisführung anhand der Anwendung logischer Identitäten

Eine Aufgabe und deren Lösung:

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Der Beweis umfasst die folgenden Schritte:
(Die genannten Gesetze sind im Abschnitt Logische Identitäten zu finden.)

${\begin{alignedat}{2}&(\neg A\land B)\lor A&&{\text{jetzt Distributivgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(\neg A\lor A)\land (B\vee A)\qquad &&{\text{jetzt Komplementärgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &1\land (B\lor A)&&{\text{jetzt Neutralitätsgesetz anwenden}}\\\equiv \quad &(B\lor A)&&{\text{fertig}}\end{alignedat}}$

Der Beweis beginnt mit dem linken Teil der Äquivalenzbehauptung: $(\neg A\land B)\lor A$
Anschließend werden eine Reihe von geeigneten logischen Identitäten angewandt.
Am Ende ist das Ergebnis der rechte Teil der Äquivalenzbehauptung: $(B\lor A)$
Damit ist der Beweis erbracht. (Unter der Voraussetzung, dass alle Umformungen korrekt erfolgt sind.)

Hinweis

Falls du hier noch nicht verstanden hast, wie genau die Anwendung der genannten Gesetze funktioniert:

Im später folgenden Abschnitt Vereinfachung unter Anwendung von logischen Identitäten gibt es ein Video, in dem u.a. die Anwendung der Gesetze mehrfach gezeigt wird.

Jetzt bis du dran:

Aufgabe 1

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\land B)\lor A\;\equiv \;(B\lor A)$

Aufgabe 2

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(\neg A\lor B)\land A\;\equiv \;(B\land A)$

Aufgabe 3

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(A\land B)\lor (A\land \neg B)\;\equiv \;A$

Aufgabe 4

Aufgabe

Beweise durch Anwendung von logischen Identitäten:

$(A\lor B)\land (A\lor \neg B)\;\equiv \;A$